Autor Tema: maximizar expresión

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17 Septiembre, 2020, 11:10 pm
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0_kool

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Hola

¿Cómo se encuentra el máximo de esta expresión   en el intervalo   (malo)\( -1\leq{} y \leq{}-1 \)(corregido\( -1\leq{} y \leq{}1 \) ?

\( \sqrt[3]{4-3y+\sqrt{ -y^3+9 y^2-24 y+16}}+\sqrt[3]{4-3y- \sqrt{-y^3+9 y^2-24 y+16}} \)

a) sin cálculo diferencial b) con cálculo diferencial



18 Septiembre, 2020, 10:07 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola


Hola

¿Cómo se encuentra el máximo de esta expresión   en el intervalo  \( -1\leq{} y \leq{}-1 \) ?

\( \sqrt[3]{4-3y+\sqrt{ -y^3+9 y^2-24 y+16}}+\sqrt[3]{4-3y- \sqrt{-y^3+9 y^2-24 y+16}} \)

a) sin cálculo diferencial b) con cálculo diferencial

La forma estandar con cálculo diferencial sería definir:

\( f(y)=\sqrt[3]{4-3y+\sqrt{ -y^3+9 y^2-24 y+16}}+\sqrt[3]{4-3y- \sqrt{-y^3+9 y^2-24 y+16}} \)

y estudiar el signo de la derivada \( f'(y) \) en el intervalo \( [-1,1] \). Cuando es positiva es creciente; cuando es negativa es decreciente. Entonces los puntos candidatos a ese cambio de tendencia son donde se anula. El candidato a máximo estaría así en los extremos del intervalo \( -1,1 \) y en los puntos donde se anula la derivada.

Ahora bien si con esa función se hace así, sin más, las cuentas pueden ser odiosas.

Para simplificar primero podemos notar (por Ruffini y factorizando) que:

\(  -y^3+9 y^2-24 y+16=(4-y)^2(1-y) \)

Entonces la función puede escribirse como:

\( f(y)=\sqrt[3]{4-3y+(4-y)\sqrt{1-y}}\color{red}-\color{black}\sqrt[3]{4-3y-(4-y)\sqrt{1-y}} \)

Cambié el más por menos y así ya no vale lo que sigue...

Ahora sin nos fijamos en la función:

\( g(y)=4-3y+(4-y)\sqrt{1-y} \)

Se tiene que \( g'(y)=-3-\sqrt{1-y}-\dfrac{4-y}{2\sqrt{1-y}}<0 \) para \( y\in [-1,1] \). Es decir \( g(y) \) es estrictamente decreciente en \( [-1,1] \).

Si definimos \( h(y)=4-3y-(4-y)\sqrt{1-y} \) se tiene que:

\( h'(y)=-3+\sqrt{1-y}+\dfrac{4-y}{2\sqrt{1-y}}=\dfrac{3(2-2\sqrt{1-y}-y)}{2\sqrt{1-y}}\geq 0 \) para \( y\in [-1,1] \)

Spoiler
Ya que \( 2-y\geq 2\sqrt{1-y} \), porque \( (2-y)^2\geq 4(1-y) \), porque \( y^2-4y+4\geq 4-4y \)
[cerrar]

Por tanto \( h(y) \) es creciente en \( [-1,1]. \)

Dado que \( x^{1/3} \) es una función estrictamente creciente, componer con ella conserva las tendencias de crecimiento y decrecimiento.

Por tanto \( g(y)^{1/3} \) es estrictamente decreciente y \( h(y)^{1/3} \) es creciente en \( [-1,1] \).

Pero entonces:

\( f(y)=g(y)^{1/3}-h(y)^{1/3} \) es estrictamente decreciente por ser la diferencia de una función estrictamente decreciente y de una creciente.

Concluimos que \( f(y) \) en \( [-1,1] \) alcanza el máximo en \( y=-1 \) y el mínimo en \( y=1 \).

Saludos.[/color]

CORREGIDO

18 Septiembre, 2020, 12:56 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Vaya por delante que odio visceralmente este tipo de "acertijos" o "problemillas de concurso", ahora bien la forma

        \( f(y)=\sqrt[3]{4-3y+\sqrt{ -y^3+9 y^2-24 y+16}}+\sqrt[3]{4-3y- \sqrt{-y^3+9 y^2-24 y+16}} \)

            \( \quad =\sqrt[3]{4-3y+\sqrt{ (4-3y)^2-y^3}}+\sqrt[3]{4-3y- \sqrt{(4-3y)^2-y^3}} \),

recuerda a la expresión de las raíces del polinomio de tercer grado \( x^3+px+q=0 \):

        \( \displaystyle\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} \).

Haciendo \( -q/2=4-3y \), \( p^3/27=-y^3 \) deducimos que \( f(y) \) es raíz real de la ecuación de tercer grado:

        \( x^3-3yx+6y-8=0 \),

con coeficientes reales y discriminante \( D <0 \) lo cual implica, que la ecuación tiene una raíz real \( f(y) \) y dos complejas conjugadas. Ignoro si existe algún teorema potente (y no lo voy a mirar  :)) sobre el máximo de las raíces de un polinomio que depende de un parámetro. Bueno, dejo esa idea por si alguien la quiere trabajar, aunque no puedo asegurar su viabilidad. 

@0_kool: Por cierto, ¿en qué contexto, asignatura, tema, etc te han puesto el problema?       

18 Septiembre, 2020, 07:48 pm
Respuesta #3

0_kool

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hola
La verdad tengo algunos cursos en el cuerpo de matemáticas universitaria, navego mucho en la red , y de repente me saltan problemas que no puedo resolver , donde lo vi  decía que lo habían tomado de un Apóstol  , al pasarlo por mathematica  me arroja 2 , cuando x=1/2  como resultado. Pero no sé como llegar a ese resultado . Gracias por sus ayudas me permiten tener otros enfoques , debe haber una forma más sencilla ,soy autodidacta y me gusta aprender de todo lo que veo en esta área.Examinare a fondo sus respuestas y si alguien tiene otra bienvenida.

19 Septiembre, 2020, 12:03 am
Respuesta #4

Fernando Revilla

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¡Qué bonito! resulta que \( x=2 \) es raíz de \( x^3-3yx+6y-8=0 \), en consecuencia, su única raíz real \( f(y) \) ha de ser \( 2 \), es decir,

        \( f: [0,1]\to \mathbb{R} \)
        \( f(y)=\sqrt[3]{4-3y+\sqrt{ -y^3+9 y^2-24 y+16}}+\sqrt[3]{4-3y- \sqrt{-y^3+9 y^2-24 y+16}}=2. \)

Por tanto, el máximo (y el mínimo) de \( f \) es \( 2 \) y se obtiene en todos los puntos del intervalo \( [0,1] \).

Obsérvese la gráfica en WolframAlpha

19 Septiembre, 2020, 05:13 am
Respuesta #5

0_kool

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Viendo con más detalle la ecuación
\( x^3-3yx+6y-8=0 \) tenemos
\( -3yx+6y+x^3-8=0 \) desarrollando la diferencia de cubos
\( (x-2)(-3 y+x^2+2 x+4)=0 \) donde
\( x-2=0 -> x=2, \forall{y}\in{\mathbb{R}} \) también
\( -3 y+x^2+2 x+4=0 \) ordenando
\( x^2+2x=3y-4 \) formando el cuadrado de binomio
\( (x+1)^2=3y-3 \)
\( x=+\sqrt[ ]{3y-3}-1 \) v \( x=-\sqrt[ ]{3y-3}-1 \)  ,de aquí también se deduce que un valor para y es y=4

19 Septiembre, 2020, 08:25 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

¡Qué bonito! resulta que \( x=2 \) es raíz de \( x^3-3yx+6y-8=0 \), en consecuencia, su única raíz real \( f(y) \) ha de ser \( 2 \), es decir,

        \( f: [0,1]\to \mathbb{R} \)
        \( f(y)=\sqrt[3]{4-3y+\sqrt{ -y^3+9 y^2-24 y+16}}+\sqrt[3]{4-3y- \sqrt{-y^3+9 y^2-24 y+16}}=2. \)

Por tanto, el máximo (y el mínimo) de \( f \) es \( 2 \) y se obtiene en todos los puntos del intervalo \( [0,1] \).

Obsérvese la gráfica en WolframAlpha

 :aplauso: :aplauso:

Yo había cambiado a mitad del desarrollo el más entres las dos raíces cúbicas por el menos y... ¡todo mal por tanto!.

Saludos.

19 Septiembre, 2020, 09:03 am
Respuesta #7

Fernando Revilla

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... de aquí también se deduce que un valor para y es y=4

En tu primer mensaje:

¿Cómo se encuentra el máximo de esta expresión   en el intervalo  \( -1\leq{} y \leq{}-1 \) ?

hay una errata y yo escogí el intervalo \( [0,1] \). ¿Podrías verificar a qué intervalo se refiere el enunciado?

19 Septiembre, 2020, 12:54 pm
Respuesta #8

0_kool

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Hola Fernando ,el intervalo del problema está bien , y creo que tú suposición de trabajar entre 0 y 1 también , tomando la gráfica que pusiste pero entre  -1 y 1 en el dibujo aparecen componentes complejas , Por lo tanto el máximo se produce de cero en adelante.,Saludos

19 Septiembre, 2020, 01:03 pm
Respuesta #9

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Luis Fuentes esa parte que dices que está mal , al final pusiste corregido , cuando tengas una poca de tiempo podrías poner los pasos correctos., Me gusta ese enfoque también pero hay cosas que se me van.Saludos

19 Septiembre, 2020, 01:20 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

¿Cómo se encuentra el máximo de esta expresión   en el intervalo  \( -1\leq{} y \leq{}-1 \) ?

\( \sqrt[3]{4-3y+\sqrt{ -y^3+9 y^2-24 y+16}}+\sqrt[3]{4-3y- \sqrt{-y^3+9 y^2-24 y+16}} \)

a) sin cálculo diferencial b) con cálculo diferencial

En lo que no me equivoqué es en que la función puede reescribirse como:

\( f(y)=\sqrt[3]{4-3y+(4-y)\sqrt{1-y}}\color{red}+\color{black}\sqrt[3]{4-3y-(4-y)\sqrt{1-y}} \)

El dominio de la misma es por tanto \( (-\infty,1] \) (para que tenga sentido en los reales \( (4-y)\sqrt{1-y} \)). Y ahí como ha demostrado Fernando la función es constante.

Saludos.


19 Septiembre, 2020, 01:24 pm
Respuesta #11

Fernando Revilla

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El intervalo del problema está bien , y creo que tú suposición de trabajar entre 0 y 1 también , tomando la gráfica que pusiste pero entre  -1 y 1 en el dibujo aparecen componentes complejas , Por lo tanto el máximo se produce de cero en adelante.

Tenemos que \( -y^3+9 y^2-24 y+16=-(y-1)(y-4)^2\ge 0 \) si y sólo si \( y\le 1 \), por tantto el dominio de \( f \) es \( (-\infty,1] \) para que exista la raíz cuadrada real. Es decir, no existe el valor \( f(4) \). Por otra parte, ignoro que hace WolframAlpha cuando a la izquierda de \( 0 \) aparece \( f(y) \) con componentes complejas, si nos movemos exclusivamente en el campo real, \( f(y) \) es por supuesto real en \( (-\infty,1] \).

P.D. Por cierto, no acabas de decirme exactamente el intervalo del enunciado. Tú escribiste \( -1\le y\le -1 \).

Editado. Se adelantó Luis.

19 Septiembre, 2020, 05:07 pm
Respuesta #12

0_kool

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Ohhhhh   :banghead: , mis disculpas a ambos miré muchas veces y lo veía bien  , el intervalo correcto es \( -1\leq{}y \leq{}1 \), ya está corregido al principio.Cuando volviste a preguntar por el intervalo ahí  se me cayo el sombrero.

19 Septiembre, 2020, 07:39 pm
Respuesta #13

Fernando Revilla

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Ohhhhh   :banghead: , mis disculpas a ambos miré muchas veces y lo veía bien  , el intervalo correcto es \( -1\leq{}y \leq{}1 \), ya está corregido al principio.Cuando volviste a preguntar por el intervalo ahí  se me cayo el sombrero.

No obstante, la función \( f:(-\infty,1]\to \mathbb{R} \) es \( f(y)=2 \) en consecuencia, el máximo y mínimo de \( f \) es \( 2 \) y se alcanzan en todos los puntos de  \( (-\infty,1] \).