Autor Tema: Prueba de que una función bajo determinadas condiciones tiende un cero

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19 Septiembre, 2020, 09:50 pm
Respuesta #20

Luis Fuentes

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Hola

Pero es que en la segunda interpretación nunca se puede dar la igualdad, nunca x=y

Puesto que si \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \) , implica que \(  f(x)=0  \,\forall{}x \in{}[a,b] \)

La única interpretación posible es la 1.

Pues no. La interpretación correcta es la 2. De hecho si se puede dar el el caso particular de que \( f(x)=0 \) (lo que no quiere decir que se de para TODO los \( x \)).

Saludos.

CORREGIDO

19 Septiembre, 2020, 10:03 pm
Respuesta #21

Buscón

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Veréis. Creo que todo el follón que se montó es en gran parte debido a lo siguiente:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?
Pero es que en la segunda interpretación nunca se puede dar la igualdad, nunca x=y

Puesto que si \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \) , implica que \(  f(x)=0  \,\forall{}x \in{}[a,b] \)

La única interpretación posible es la 1. (*)

Añadido.

P.D.: Cuando digo que la única


Saludos. interpretación posible es la 1, me refiero a la única no trivial, es decir en principio puede darse el caso x=y, pero con poco que se analice se llega al resultado trivial f(x)=0, a eso me refiero, que el caso x=y es trivialmente evidente.


El caso trivial ya estaba contemplado aquí.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102913.msg452126#msg452126

19 Septiembre, 2020, 10:04 pm
Respuesta #22

Buscón

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Hola

Pero es que en la segunda interpretación nunca se puede dar la igualdad, nunca x=y

Puesto que si \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \) , implica que \(  f(x)=0  \,\forall{}x \in{}[a,b] \)

La única interpretación posible es la 1.

Pues no. La interpretación correcta es la 2. De hecho si se puede dar el el caso particular de que \( f(x)=0 \) (lo que no quiere decir que se de para TODO los \( x \)).

Saludos.

Que se de el caso     \( f(x)=0 \)    para algún    \( x\in{[a,b]} \)    es lo que piden probar.

19 Septiembre, 2020, 10:07 pm
Respuesta #23

robinlambada

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Hola

Pero es que en la segunda interpretación nunca se puede dar la igualdad, nunca x=y

Puesto que si \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \) , implica que \(  f(x)=0  \,\forall{}x \in{}[a,b] \)

La única interpretación posible es la 1.

Pues no. La interpretación correcta es la 1. De hecho si se puede dar el el caso particular de que \( f(x)=0 \) (lo que no quiere decir que se de para TODO los \( x \)).

Saludos.
Entiendo que te refieres a que la interpretación correcta es la 2, si cierto. No me he explicado muy bién, en principio el enunciado no limita a los casos en que\(  x=y \), pero lo que quiero comentar es que entonces la función es cero en ese punto x, \( f(x)=0 \) .

Si es verdad que he interpretado que \( \forall{}x\in{}[a,b] : x=y \) entonces la función sería nula en todo el intervalo.

Pero si puede pasar que coincidan puntualmente, de hecho si la función tiene un solo cero entonces si coinciden, \( x=y \)
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

19 Septiembre, 2020, 10:23 pm
Respuesta #24

Buscón

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Yo lo veo así

"Supongamos que para todo    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Si     \( x=y \)    entonces es    \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \),    la desigualdad sólo se verifica para    \( f(x)=0 \)    y la solución al problema es trivial. Esto no impide que la función tenga más de un cero.

A partir de aquí en lo que sigue hay que considerar    \( x\neq y \).   

19 Septiembre, 2020, 10:32 pm
Respuesta #25

robinlambada

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Pero la confusión ha venido por una mala interpretación de Buscón del enunciado.



Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]}[/b] \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

Ha puesto en la segunda interpretación( lo marcado en azul) , o que x e y son distintos o iguales para todos los valores de x e y en el intervalo.

Ha confundido la existencia de algún "y"  para todo x del intervalo, con el hecho que no tiene nada que ver de que x e y sean iguales siempre o distintas siempre.

Saludos.
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19 Septiembre, 2020, 10:46 pm
Respuesta #26

Buscón

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Pero la confusión ha venido por una mala interpretación de Buscón del enunciado.



Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]}[/b] \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

Ha puesto en la segunda interpretación( lo marcado en azul) , o que x e y son distintos o iguales para todos los valores de x e y en el intervalo.

Ha confundido la existencia de algún "y"  para todo x del intervalo, con el hecho que no tiene nada que ver de que x e y sean iguales siempre o distintas siempre.

Saludos.

No, no, no. Quería decir que se podría dar el caso que     \( x=y \).   Disculpas.

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \).    Para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

19 Septiembre, 2020, 11:02 pm
Respuesta #27

Pie

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Supongo (es probable que mal) que se considera la posibilidad de que x = y cuando ese x es el que anula la función, ya que en ese caso la condición se sigue cumpliendo para un mismo valor.

Salu2
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20 Septiembre, 2020, 12:45 am
Respuesta #28

robinlambada

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Supongo (es probable que mal) que se considera la posibilidad de que x = y cuando ese x es el que anula la función, ya que en ese caso la condición se sigue cumpliendo para un mismo valor.

Salu2
Si claro, además  si la función tuviese un solo cero en el intervalo, necesariamente se daría el caso \( f(x)=0 \) con \( x=y \)

Saludos.
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20 Septiembre, 2020, 01:17 am
Respuesta #29

Pie

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Supongo (es probable que mal) que se considera la posibilidad de que x = y cuando ese x es el que anula la función, ya que en ese caso la condición se sigue cumpliendo para un mismo valor.

Salu2
Si claro, además  si la función tuviese un solo cero en el intervalo, necesariamente se daría el caso \( f(x)=0 \) con \( x=y \)

Saludos.

Pero con varios ceros también no? Algo como f(x) = sin(pi*x) daría ceros para todos los x naturales, y se podrían coger tantos como uno quisiera en el intervalo.

Bueno, si esa función cumpliera la condición claro (y si entendí todo bien, que algunas partes me cuesta XD)

Salu2

 
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20 Septiembre, 2020, 01:33 am
Respuesta #30

Pie

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Retiro mi mensaje anterior, imposible que se cumpla la condición para 2 o más ceros en funciones tipo seno, etc.. ya que luego tiene que volver a subir XD Mejor me voy a dormir por hoy :p

Salu2
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20 Septiembre, 2020, 03:28 pm
Respuesta #31

Luis Fuentes

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Hola

"Supongamos que para todo    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Si     \( x=y \)    entonces es    \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \),    la desigualdad sólo se verifica para    \( f(x)=0 \)    y la solución al problema es trivial. Esto no impide que la función tenga más de un cero.

A partir de aquí en lo que sigue hay que considerar    \( x\neq y \).   

Es cierto que si existe \( x=y \) tales que \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \), entonces \( |f(x)|=0 \) y la existencia del cero es inmediata.

Pero eso no quiere decir que NECESARIAMENTE en o que sigue HAYA (SEA OBLIGATORIO) considerar \( x\neq y \). Por ejemplo en la demostración de este hilo es indiferente que \( x \) sea igual a \( y \) o no. NO hay que "preocuparse" de eso.

¿Qué uno podría en lo que sigue suponer que \( x\neq y \)? Si, podría.

La cuestión es porque ese detalle habría de provocarte confusión alguna. No debería de ser así. Apenas influye en todas las ideas que se han dado.

Saludos.

20 Septiembre, 2020, 03:52 pm
Respuesta #32

Buscón

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Hola

"Supongamos que para todo    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Si     \( x=y \)    entonces es    \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \),    la desigualdad sólo se verifica para    \( f(x)=0 \)    y la solución al problema es trivial. Esto no impide que la función tenga más de un cero.

A partir de aquí en lo que sigue hay que considerar    \( x\neq y \).   

Es cierto que si existe \( x=y \) tales que \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \), entonces \( |f(x)|=0 \) y la existencia del cero es inmediata.

Pero eso no quiere decir que NECESARIAMENTE en o que sigue HAYA (SEA OBLIGATORIO) considerar \( x\neq y \).

Considerar que    \( |f(x)|\neq 0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \)    y considerar que   \( x\neq y \)    es lo mismo que suponer que no existe     \( c\in{[a,b]} \)    tal que   \( f(c)=0 \)    lo que lleva a contradecir el Teorema de Bolzano tal y como razona delmar aquí

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=96785.msg388680#msg388680

o contradecir el Teorema de Weierstrass como razono yo aquí

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102913.msg452754#msg452754


Por ejemplo en la demostración de este hilo es indiferente que \( x \) sea igual a \( y \) o no. NO hay que "preocuparse" de eso.

¿Qué uno podría en lo que sigue suponer que \( x\neq y \)? Si, podría.

Es que son dos formas bastante distintas de probar el resultado, no son comparables.


La cuestión es porque ese detalle habría de provocarte confusión alguna. No debería de ser así. Apenas influye en todas las ideas que se han dado.

¿Pórque soy torpe?

Saludos.

20 Septiembre, 2020, 04:36 pm
Respuesta #33

Luis Fuentes

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Hola

Considerar que    \( |f(x)|\neq 0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \)    y considerar que   \( x\neq y \)    es lo mismo que suponer que no existe     \( c\in{[a,b]} \)    tal que   \( f(c)=0 \)    lo que lleva a contradecir el Teorema de Bolzano tal y como razona delmar aquí

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=96785.msg388680#msg388680

Si quieres discutir las ideas de la demostración de delmar... ve al hilo de la demostración de delmar.

Citar
o contradecir el Teorema de Weierstrass como razono yo aquí

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102913.msg452754#msg452754

Te hemos contestado allí geómetracat y yo. La cosa es que no está claro exactamente cómo razonas.

Citar
Por ejemplo en la demostración de este hilo es indiferente que \( x \) sea igual a \( y \) o no. NO hay que "preocuparse" de eso.

¿Qué uno podría en lo que sigue suponer que \( x\neq y \)? Si, podría.

Es que son dos formas bastante distintas de probar el resultado, no son comparables.

En realidad yo sólo hago alusión a una demostración: la de este hilo. Así que no comparé nada.

Citar
La cuestión es porque ese detalle habría de provocarte confusión alguna. No debería de ser así. Apenas influye en todas las ideas que se han dado.

¿Pórque soy torpe?

Eso lo dices tu, no yo. Yo no pienso que seas torpe.

Hace unos mensajes me pareció que te molestaba que hiciese cualquier valoración sobre tu forma de estudiar, preguntar y enfrentarte a estas cuestiones. Nada más lejos de mi intención que ofender a nadie.

Así que estoy intentando hacer cualquier alusión a tu método. Para ser sincero en tu caso me cuesta. Tu dirás, ¿por qué? ¿me tiene manía?¿le estorban mis preguntas?. No.

El problema es que en mi opinión en tu caso la naturaleza de tus dudas están totalmente relacionadas con tu método. Yo no creo que tus dudas surjan porque seas torpe, o tengas especial dificultad en entender cosas de matemáticas. Creo que un porcentaje muy alto son hijas del DESORDEN, de una forma caótica de plantear las cuestiones, de no pararse a ordenar las ideas. De buscar la siguiente duda antes de entender la respuesta a la anterior. Y si... los hilos largos (de nuevo es mi opinión) no ayudan al orden.

Por ponerte un ejemplo la pregunta que hacías:

Veréis. Creo que todo el follón que se montó es en gran parte debido a lo siguiente:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

Tiene una respuesta clara e inequívoca: la correcta es la 2.

Ahora si empiezas a añadir contexto a la pregunta. "Es que si \( x=y \) es trivial; es que en tal demostración el caso \( x=y \) lo considero a parte;...". Pues entonces la respuesta claro,, puede matizarse y puede "caber" la interpretación 1.

La cosa es que no hay nada dudoso en todo esto; creo que ni siquiera para ti, francamente. Es decir si FIJAMOS CLARAMENTE UN CONTEXTO, UNAS PREMISAS, creo que interpretarías perfectamente esa condición; mi sensación es que incoscientemente tu NO FIJAS ESE CONTEXTO; mezclas las ideas de una demostración con las de otra; mezclas la discusión de un hilo con el de otro; y entonces estás haciendo la pregunta con un contexto borroso. Ahí las dudas. Ahí las respuestas también borrosas.

En fin, este es un esbozo de lo que pienso. Nada más lejos de mi intención que haberte molestado por esta reflexión o meterme donde no me llaman.

Saludos.

20 Septiembre, 2020, 05:16 pm
Respuesta #34

Buscón

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Es de agradecer que la cuestión a tratar no sean mis métodos, mis capacidades, mis enfoques..., etc.

Para mi es deseable que así sea también para los participantes de este foro.

Se trata de debatir sobre problemas matemáticos. ¿No?

En cuanto a lo del orden estoy de acuerdo pero hay veces, como en este caso, que no resulta sencillo.

20 Septiembre, 2020, 05:19 pm
Respuesta #35

Buscón

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La interpretación de la condición ahora es clara. Nada impide que    \( x=y \)    puesto que no se especifica nada en contra.

¿Esto implica que no se puedan considerar los casos    \( x=y \)    y los casos   \( x\neq y \)?

20 Septiembre, 2020, 07:55 pm
Respuesta #36

Luis Fuentes

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Hola

Léase sólo si se va a interpretar de manera constructiva.
Es de agradecer que la cuestión a tratar no sean mis métodos, mis capacidades, mis enfoques..., etc.

Para mi es deseable que así sea también para los participantes de este foro.

Se trata de debatir sobre problemas matemáticos. ¿No?

No estoy seguro de que me hayas entendido o quizá no me he sabido explicar. En mi anterior mensaje MOTIVÉ porque hablo de tus métodos y tus enfoques (nunca de tus capacidades, salvo porque las sacaste tú a colación con lo de "soy torpe"). En muchas ocasiones los errores matemáticos están inseparablemente relacionados con errores de método y enfoque. No es la única ocasión (mi mucho menos) en el foro en la que hago ese tipo de observaciones. Mi ánimo es responder de la manera que considero más adecuada para AYUDAR a resolver las dificultades.

Para los participantes del foro es deseable claridad y orden.

Citar
En cuanto a lo del orden estoy de acuerdo pero hay veces, como en este caso, que no resulta sencillo.

¿Por ejemplo, repetir EXACTAMENTE la misma pregunta en tres hilos (insisto EXACTAMENTE) no es fácilmente evitable?.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114314.msg452715#msg452715

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102913.msg452716#msg452716

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114307.msg452717#msg452717
[cerrar]

¿Esto implica que no se puedan considerar los casos    \( x=y \)    y los casos   \( x\neq y \)?

No se si tu pregunta es retórica porque la respuesta es obvia. Evidentemente puedes considerar y separar los casos que consideres oportuno. La cuestión luego es que cada caso esté bien desarrollado, razonado y fundamentado.

Saludos.

20 Septiembre, 2020, 08:32 pm
Respuesta #37

Buscón

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¿Esto implica que no se puedan considerar los casos    \( x=y \)    y los casos   \( x\neq y \)?

No se si tu pregunta es retórica porque la respuesta es obvia. Evidentemente puedes considerar y separar los casos que consideres oportuno. La cuestión luego es que cada caso esté bien desarrollado, razonado y fundamentado.

No, no es retórica. Ni siquiera sé lo que significa eso.

¿No es buen fundamentado que la única manera de que la desigualdad se satisfaga al considerar     \( x=y \)    es que    \( f(x)=f(y)=0 \).    No hay ninguna otra posibilidad?

La consecuencia de esto es que al considerar    \( x\neq y \)    se está considerando que    \( f(x)>0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \)    que es el supuesto que se necesita para llegar a la contradicción del Teorema de Weierstrass.

¿No enlaza perfectamente con la propuesta de delmar?

20 Septiembre, 2020, 08:40 pm
Respuesta #38

Luis Fuentes

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Hola

¿No es buen fundamentado que la única manera de que la desigualdad se satisfaga al considerar     \( x=y \)    es que    \( f(x)=f(y)=0 \).    No hay ninguna otra posibilidad?

Si, eso es correcto pero bastante intrascendente.

Citar
La consecuencia de esto es que al considerar    \( x\neq y \)    se está considerando que    \( f(x)>0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \)    que es el supuesto que se necesita para llegar a la contradicción del Teorema de Weierstrass.

¿No enlaza perfectamente con la propuesta de delmar?

Efectivamente suponer que \( f(x)>0 \) es lo que hacen la delmar y martiniano hasta llegar a una contradición  del Teorema de Weierstrass. ¿Y qué...?

Desde el principio todos estábamos de acuerdo en que las demostraciones de delmar y martiniano (que son la misma) son perfectamente correctas. Si te fijas ninguno de ellos hizo el más mínimo comentario sobre si \( x=y \) ó \( x\neq y \), porque es absolutamente intrascendente para el argumento.

Es cierto que al suponer \( f(x)>0 \) de rebote se tienen que ese y que existe para cada \( x \) según afirman las hipótesis del teorema a probar, cumple \( y\neq x \). Pero es una información innecesaria para completar la prueba como lo han hecho delmar y martiniano.

Saludos.

20 Septiembre, 2020, 09:54 pm
Respuesta #39

Buscón

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Hola

¿No es buen fundamentado que la única manera de que la desigualdad se satisfaga al considerar     \( x=y \)    es que    \( f(x)=f(y)=0 \).    No hay ninguna otra posibilidad?

Si, eso es correcto pero bastante intrascendente.

Lo de bastante intrascendente es bastante subjetivo. Sobre todo si suponer que    \( x\neq y \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \)    es lo mismo que suponer    \( f(x)>0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \).    Si es intrascendente lo uno también lo es lo otro.   

Citar
La consecuencia de esto es que al considerar    \( x\neq y \)    se está considerando que    \( f(x)>0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \)    que es el supuesto que se necesita para llegar a la contradicción del Teorema de Weierstrass.

¿No enlaza perfectamente con la propuesta de delmar?

Efectivamente suponer que \( f(x)>0 \) es lo que hacen la delmar y martiniano hasta llegar a una contradición  del Teorema de Weierstrass. ¿Y qué...?

Pero suponer que    \( x\neq y \)    es lo mismo que suponer que    \( f(x)>0 \)    nos lleva a un paseo por el bosque.  :D
 
Desde el principio todos estábamos de acuerdo en que las demostraciones de delmar y martiniano (que son la misma) son perfectamente correctas. Si te fijas ninguno de ellos hizo el más mínimo comentario sobre si \( x=y \) ó \( x\neq y \), porque es absolutamente intrascendente para el argumento.

Lo dudo cuando es lo mismo que suponer    \( f(x)>0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \).     ¿Y que? Cada cual razona como quiere. Además eso juega a mi favor por que hacen falta menos líneas para la demostración. :P

Es cierto que al suponer \( f(x)>0 \) de rebote se tienen que ese y que existe para cada \( x \) según afirman las hipótesis del teorema a probar, cumple \( y\neq x \). Pero es una información innecesaria para completar la prueba como lo han hecho delmar y martiniano.

"Es innecesaria", (entre comillas por que son lo mismo), para los razonamientos de delmar y martiniano, pero si no proponemos los razonamientos y no le damos vueltas no nos habríamos enterado que efectivamente en el fondo son lo mismo. Bueno, al menos por la parte que me toca.

Ya sé que el que más ha aprendido he sido yo, un pelín egoísta. Ahora conozco el teorema de continuidad por convergencia. Me resulta más fácil distinguir entre conjuntos compactos y conjuntos que no lo son... etc... Por eso agradezco la paciencia y las aportaciones de todos los que habéis intervenido. Una vez más, sin vosotros imposible.

Saludos.