Autor Tema: Prueba de que una función bajo determinadas condiciones tiende un cero

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17 Septiembre, 2020, 10:09 pm
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Luis Fuentes

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Hola

Se trata de  probar:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que:

 para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{1}{5}\Big|f(x)\Big|} \). (H)

Entonces   \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).



En la demostración usaremos algunos resultados auxilares conocidos. Destaco:

Teorema A. Toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente al mismo límite.
Teorema B. Dada función continua \( f:X\to Y \) entre dos espacios métricos, y una sucesión en \( X \) convergente \( \{x_n\}\to x \) se cumple que \( \{f(x_n)\} \) converge a \( f(x). \)
Teorema C. Toda sucesión contenida en un compacto tiene una subsucesión convergente en ese compacto (es decir el límite de la sucesión pertenece al compacto).
Teorema D. El límite de una sucesión de números reales si existe es único.

Pasos para la prueba del resultado:

1) Construimos una sucesión \( \{y_n\} \) contenida en \( [a,b] \) tal que \( |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5}f(y_{n-1}) \) para todo \( n>2 \).

Spoiler
Para ello escogemos un \( y_1 \) cualquiera en \( [a,b] \). Por la hipótesis (H) existe un \( y_2\in [a,b] \) cumpliendo \( |f(y_2)|\leq \dfrac{1}{5}|f(y_1)| \).

Después de nuevo por (H) existe un \( y_3\in [a,b] \) cumpliendo \( |f(y_3)|\leq \dfrac{1}{5}|f(y_2)| \).

De nuevo por (H) existe un \( y_4\in [a,b] \) cumpliendo \( |f(y_4)|\leq \dfrac{1}{5}|f(y_3)| \).

Y así sucesivamente.
[cerrar]

2) La sucesión \( \{y_n\} \) construída anteriormente cumple que \( |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5^{n-1}}|f(y_1)| \).

Spoiler
Es consecuencia de la relación recursiva vista en (1) \( |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5}f(y_{n-1}) \) .
[cerrar]

3) La sucesión \( \{f(y_n)\} \) converge a cero.

Spoiler
Basta tener en cuenta que:

\( 0\leq |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5^{n-1}}|f(y_1)| \)

Como \( |f(y_1)| \) es un valor constante, \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{5^{n-1}}|f(y_1)|=0 \). Por el Teorema del Sandwich, deducimos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}|f(y_n)|=0 \) y por tanto \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=0 \)
[cerrar]

4) Por el Teorema (C) la sucesión \( \{y_n\} \) contenida en el compacto \( [a,b] \) tiene una subsucesión convergente \( a \) un punto de \( [a,b], \{y_{n_k}\}\to \sigma\in [a,b] \).

5) Por el Teorema (A) la subsucesión \( \{f(y_{n_k})\} \) de \( \{f(y_n)\} \) converge al mismo límite que ésta, es decir, a cero.

6) Por el Teorema (B) y por el paso (4), como \( f \) es continua y \( \{y_{n_k}\}\to \sigma \), deducimos que \( \{f(y_{n_k})\} \) converge a \( f(\sigma) \) con \( \sigma\in [a,b] \).

7) Por (6) tenemos que \( \{f(y_{n_k})\}\to f(\sigma) \) y por 5) que \( \{f(y_{n_k})\}\to 0 \). Por el Teorema (D), como el límite de una sucesión si existe es único, de deduce que \( f(\sigma)=0 \) y por tanto la función se anula en \( \sigma\in [a,b]. \)

17 Septiembre, 2020, 11:40 pm
Respuesta #1

Buscón

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Hola y gracias.

No te lo vas a creer pero después de darle unas cuantas vueltas no veo por donde atacarlo.

18 Septiembre, 2020, 09:05 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

No te lo vas a creer pero después de darle unas cuantas vueltas no veo por donde atacarlo.

No sé si te estoy entendiendo bien.

¿Quieres decir que no ves ahora ningún inconveniente en la demostración propuesta y la entiendes toda?. ¿Es decir no le ves ninguna fisura?. Eso sería estupendo. ¿No?.

O, ¿quieres decir que no ves cómo atacar, resolver, realizar la demostración del resultado propuesto?. Si es esto...¡pero si en el mensaje anterior prácticamente está escrita la demostración y quizá falta detallar un poco algún paso! (eso sin citar los 110 mensajes hablando del asunto en el "otro" hilo).

O, quizá querías decir otra cosa diferente a las dos anteriores.

Espero tu respuesta.

Saludos.

18 Septiembre, 2020, 12:06 pm
Respuesta #3

Pie

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Después de tantas vueltas que le habéis dado a este tema creo que hasta lo entiendo yo XD

Sólo una cosa, con "compacto" os referís a una función con intervalo cerrado?

Espero no molestar demasiado con la pregunta..

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

18 Septiembre, 2020, 01:45 pm
Respuesta #4

Buscón

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Hola

No te lo vas a creer pero después de darle unas cuantas vueltas no veo por donde atacarlo.

No sé si te estoy entendiendo bien.

¿Quieres decir que no ves ahora ningún inconveniente en la demostración propuesta y la entiendes toda?. ¿Es decir no le ves ninguna fisura?. Eso sería estupendo. ¿No?.

No, no es eso.

O, ¿quieres decir que no ves cómo atacar, resolver, realizar la demostración del resultado propuesto?. Si es esto...¡pero si en el mensaje anterior prácticamente está escrita la demostración y quizá falta detallar un poco algún paso! (eso sin citar los 110 mensajes hablando del asunto en el "otro" hilo).

Tampoco es eso.

O, quizá querías decir otra cosa diferente a las dos anteriores.

Espero tu respuesta.

Saludos.

Bueno, una pregunta. ¿Para que la subsucesión   \( \big\{f(y_{n_k})\big\} \)     si la sucesión    \( \big\{f(y_n)\big\} \)    ya converge a cero?

Como la sucesión    \( \big\{y_n\big\} \)    así construida está en    \( [a,b] \),     ya está garantizado, por ser    \( [a,b] \)    compacto y por la continuidad de la función    \( f \),    que hay algún    \( y_k=\sigma\in{[a,b]} \)    para el cual la función se anula.

18 Septiembre, 2020, 01:49 pm
Respuesta #5

Buscón

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Después de tantas vueltas que le habéis dado a este tema creo que hasta lo entiendo yo XD

Sólo una cosa, con "compacto" os referís a una función con intervalo cerrado?

Espero no molestar demasiado con la pregunta..

Saludos.

Un conjunto compacto es un conjunto cerrado y acotado.   En este caso es el intervalo    \( [a,b] \)

18 Septiembre, 2020, 01:59 pm
Respuesta #6

Pie

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Después de tantas vueltas que le habéis dado a este tema creo que hasta lo entiendo yo XD

Sólo una cosa, con "compacto" os referís a una función con intervalo cerrado?

Espero no molestar demasiado con la pregunta..

Saludos.

Un conjunto compacto es un conjunto cerrado y acotado.   En este caso es el intervalo    \( [a,b] \)

Ok, gracias.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

18 Septiembre, 2020, 03:05 pm
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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Si tienes la función \( f(x) = 1-x^2  \) en \(  [-1,1]  \)  la sucesión \( y_n = (-1)^n  \) cumple lo pedido y no es convergente.
Puede suceder que \( y_n \neq \sigma  \) para todo natural.


18 Septiembre, 2020, 03:14 pm
Respuesta #8

Buscón

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Si tienes la función \( f(x) = 1-x^2  \) en \(  [-1,1]  \)  la sucesión \( y_n = (-1)^n  \) cumple lo pedido y no es convergente.
Puede suceder que \( y_n \neq \sigma  \) para todo natural.

Si, vale, creo que ya lo he visto. Una vez probado que hay una sucesión convergente a cero, se ha de garantizar que efectivamente hay en    \( [a,b] \)    un    \( \sigma \)    tal que    \( f(\sigma)=0 \).    Podría ocurrir que no fuese así. Esta garantía se consigue con la subsucesión y se prueba en el paso 6) que pone Luis Fuentes

18 Septiembre, 2020, 03:17 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Tampoco es eso.

 ¿Entonces qué era lo que querías decir?.

Citar
Bueno, una pregunta. ¿Para que la subsucesión   \( \big\{f(y_{n_k})\big\} \)     si la sucesión    \( \big\{f(y_n)\big\} \)    ya converge a cero?

La sucesión \( \{f(y_n)\} \) no es la que motiva que tengamos que tomar una SUBsucesión, ya que como bien dices converge a cero. El problema está en \( \{y_n\} \). Si convergiese a algún \( \sigma \), perfecto porque usando el Teorema B, podríamos concluir que \( f(\sigma)=0 \). Pero no tenemos garantizado que converja a nada. Por tanto es ahí donde nos vemos obligado a tomar una subsucesión convergente de  \( \{y_n\} \) que coverja cuya existencia está garantizada por el Teorema C. "De rebote" para poder aplicar (B) trabajamos con la imagen de la subsucesión, obteniendo  \( \big\{f(y_{n_k})\big\} \) que converge igualmente a cero igual que la sucesión  \( \big\{f(y_n)\big\} \)   .

Citar
Como la sucesión    \( \big\{y_n\big\} \)    así construida está en    \( [a,b] \),     ya está garantizado, por ser    \( [a,b] \)    compacto y por la continuidad de la función    \( f \),    que hay algún    \( y_k=\sigma\in{[a,b]} \)    para el cual la función se anula.

Este es un error que estás repitiendo continuamente; y francamente no se de donde sale. Estás empeñado en decir que hay algún término de la sucesión que coincide con \( \sigma \) (que entiendo que el límite) y esto no es así. Y si piensas que si deberías de dar alguna justificación; básicamente para ayudarte a encontrar el error.

Por ejemplo si consideras la función \( f:[0,1]\to \Bbb R \), definida como \( f(x)=x \), cumple las hipótesis del Teorema.

La sucesión \( y_n=\dfrac{1}{5^n} \) cumple las condiciones que se dan en la demostración en su construcción.

En este caso \( \{y_n\} \) es convergente a \( \sigma=0 \). Pero sin embargo NO existe ningún \( k \) tal que \( y_k=\sigma \), es decir, tal que \( \dfrac{1}{5^k}=0 \).

Saludos.

18 Septiembre, 2020, 06:40 pm
Respuesta #10

Buscón

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Hola
Tampoco es eso.
¿Entonces qué era lo que querías decir?.

Están justificados todos los pasos. No encuentro fisuras por donde atacarlo.


Citar
Bueno, una pregunta. ¿Para que la subsucesión   \( \big\{f(y_{n_k})\big\} \)     si la sucesión    \( \big\{f(y_n)\big\} \)    ya converge a cero?

La sucesión \( \{f(y_n)\} \) no es la que motiva que tengamos que tomar una SUBsucesión, ya que como bien dices converge a cero. El problema está en \( \{y_n\} \). Si convergiese a algún \( \sigma \), perfecto porque usando el Teorema B, podríamos concluir que \( f(\sigma)=0 \). Pero no tenemos garantizado que converja a nada. Por tanto es ahí donde nos vemos obligado a tomar una subsucesión convergente de  \( \{y_n\} \) que coverja cuya existencia está garantizada por el Teorema C. "De rebote" para poder aplicar (B) trabajamos con la imagen de la subsucesión, obteniendo  \( \big\{f(y_{n_k})\big\} \) que converge igualmente a cero igual que la sucesión  \( \big\{f(y_n)\big\} \)   .

Aunque la sucesión    \( \{y_n\} \)    no converja, sí lo hace la sucesión    \( \big\{f(y_n)\big\} \),    concretamente a cero.   Como está probado que la sucesión    \( \{y_n\}\subset{[a,b]} \),    ¿para que probar que    \( \{y_n\} \)    converge? ¿No debe existir    \( y_k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    para algún    \( k \)?

Citar
Como la sucesión    \( \big\{y_n\big\} \)    así construida está en    \( [a,b] \),     ya está garantizado, por ser    \( [a,b] \)    compacto y por la continuidad de la función    \( f \),    que hay algún    \( y_k=\sigma\in{[a,b]} \)    para el cual la función se anula.

Este es un error que estás repitiendo continuamente; y francamente no se de donde sale. Estás empeñado en decir que hay algún término de la sucesión que coincide con \( \sigma \) (que entiendo que el límite) y esto no es así. Y si piensas que si deberías de dar alguna justificación; básicamente para ayudarte a encontrar el error.

Pues yo menos. Si lo supiera no lo estaría cometiendo.

Yo entiendo que la subsucesión    \( \big\{y_{n_k}\big\} \)    se construye precisamente para poder probar que converge a un    \( \sigma \)    y entonces hay un elemento del compacto    \( [a,b] \)    en concreto    \( \sigma \)    tal que     \( f(\sigma)=0 \),   lo que garantiza que la función se anula en algún punto     \( c\in{[a,b]} \),    concretamente en    \( c=\sigma \).

Pero volviendo al punto anterior. Ya debe haber un    \( y_k\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    para algún    \( k \). ¿No?   

Por ejemplo si consideras la función \( f:[0,1]\to \Bbb R \), definida como \( f(x)=x \), cumple las hipótesis del Teorema.

La sucesión \( y_n=\dfrac{1}{5^n} \) cumple las condiciones que se dan en la demostración en su construcción.

En este caso \( \{y_n\} \) es convergente a \( \sigma=0 \). Pero sin embargo NO existe ningún \( k \) tal que \( y_k=\sigma \), es decir, tal que \( \dfrac{1}{5^k}=0 \).

Saludos.

Vale, suponiendo que soy muy torpe, (no hace falta suponer mucho  :D), y que no sé que   \( f(0)=0 \).

La sucesión    \( f \)    así definida es continua en   \( [0,1] \)    y verifica que para cada    \( x\in{[0,1]} \)    hay algún    \( y\in{[0,1]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{1}{5}\big|f(x)\big|} \)

   1) Construimos las sucesiones   \( \{y_n\} \)    y    \( f\big(y_{n}\big) \) :

      \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{1}{5}\big|f(y_1)\big|} \)

                   ...

      \( \big|f(y_n)\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_1)\big|}{5^n}} \).

   3) Por el sándwich, la sucesión    \( f(y_n) \)    converge a cero.

   - Claramente    \( \{y_n\}\subset{[0,1]} \).

   - No hay garantía de que exista algún término    \( y_k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \).    Que    \( \big\{f(y_n)\big\}\rightarrow{0} \)    y que    \( \{y_n\}\subset{[0,1]} \)    no es suficiente para garantizarlo.   

18 Septiembre, 2020, 08:18 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Aunque la sucesión    \( \{y_n\} \)    no converja, sí lo hace la sucesión    \( \big\{f(y_n)\big\} \),    concretamente a cero.   Como está probado que la sucesión    \( \{y_n\}\subset{[a,b]} \),    ¿para que probar que    \( \{y_n\} \)    converge? ¿No debe existir    \( y_k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    para algún    \( k \)?

¡No! No debe de existir. Ya te he puesto un ejemplo donde no existe. Entonces no sé que más decirte al respecto. Lo quería decir en mi anterior correo es que si no sabes en que basas esa afirmación más que en una opinión, una sensación, una intuición... está claro que es errónea, porque no se cumple. Entonces deséchala y a otra cosa. Yo no puedo más que decir que eso es falso y darte un ejemplo que lo muestra.

Citar
Yo entiendo que la subsucesión    \( \big\{y_{n_k}\big\} \)    se construye precisamente para poder probar que converge a un    \( \sigma \)    y entonces hay un elemento del compacto    \( [a,b] \)    en concreto    \( \sigma \)    tal que     \( f(\sigma)=0 \),   lo que garantiza que la función se anula en algún punto     \( c\in{[a,b]} \),    concretamente en    \( c=\sigma \).

Bien.

Citar
Pero volviendo al punto anterior. Ya debe haber un    \( y_k\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    para algún    \( k \). ¿No?   

Otra vez. ¡No!. De hecho has visto en el ejemplo que NO lo hay.

Si tu dijeses "debe de haber un  \( y_k\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    para algún    \( k \)" por esto, por esto y por esto pues podríamos ver cuál de esos "estos" está errado. Pero como no das ningún motivo, la respuesta es que NO eso es FALSO. Y el sello de que eso es así es el ejemplo donde no se cumple.

Citar
Vale, suponiendo que soy muy torpe, (no hace falta suponer mucho  :D), y que no sé que   \( f(0)=0 \).

La sucesión    \( f \)    así definida es continua en   \( [0,1] \)    y verifica que para cada    \( x\in{[0,1]} \)    hay algún    \( y\in{[0,1]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{1}{5}\big|f(x)\big|} \)

   1) Construimos las sucesiones   \( \{y_n\} \)    y    \( f\big(y_{n}\big) \) :

      \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{1}{5}\big|f(y_1)\big|} \)

                   ...

      \( \big|f(y_n)\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_1)\big|}{5^n}} \).

   2) Por el sándwich, la sucesión    \( f(y_n) \)    converge a cero.

   3) Claramente    \( \{y_n\}\subset{[0,1]} \).

   4) No hay garantía de que exista algún término    \( y_k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \).    Que    \( \big\{f(y_n)\big\}\rightarrow{0} \)    y que    \( \{y_n\}\subset{[0,1]} \)    no es suficiente para garantizarlo. 

 ¡Exacto! Y como prueba irrefutable de que no se puede garantiza es que una sucesión en esas condiciones para ese ejemplo podría ser \( y_n=\dfrac{1}{5^n} \), donde NO existe ningún término  \( y_k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \).

Saludos.

18 Septiembre, 2020, 08:32 pm
Respuesta #12

Buscón

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Vale, suponiendo que soy muy torpe, (no hace falta suponer mucho  :D), y que no sé que   \( f(0)=0 \).

La sucesión    \( f \)    así definida es continua en   \( [0,1] \)    y verifica que para cada    \( x\in{[0,1]} \)    hay algún    \( y\in{[0,1]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{1}{5}\big|f(x)\big|} \)

   1) Construimos las sucesiones   \( \{y_n\} \)    y    \( f\big(y_{n}\big) \) :

      \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{1}{5}\big|f(y_1)\big|} \)

                   ...

      \( \big|f(y_n)\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_1)\big|}{5^n}} \).

   3) Por el sándwich, la sucesión    \( f(y_n) \)    converge a cero.

   - Claramente    \( \{y_n\}\subset{[0,1]} \).

  - No hay garantía de que exista algún término    \( y_k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \).    Que    \( \big\{f(y_n)\big\}\rightarrow{0} \)    y que    \( \{y_n\}\subset{[0,1]} \)    no es suficiente para garantizarlo. 

 ¡Exacto! Y como prueba irrefutable de que no se puede garantiza es que una sucesión en esas condiciones para ese ejemplo podría ser \( y_n=\dfrac{1}{5^n} \), donde NO existe ningún término  \( y_k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \).

4) Por el Teorema (C) la sucesión \( \{y_n\} \) contenida en el compacto \( [a,b] \) tiene una subsucesión convergente \( a \) un punto de \( [a,b], \{y_{n_k}\}\to \sigma\in [a,b] \).

¿Esto garantiza que    \( \sigma\in{\{y_n\}} \)?

¿Esto garantiza que    \( \sigma\in{\{y_{n_k}\}} \)?


19 Septiembre, 2020, 08:37 am
Respuesta #13

Luis Fuentes

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4) Por el Teorema (C) la sucesión \( \{y_n\} \) contenida en el compacto \( [a,b] \) tiene una subsucesión convergente \( a \) un punto de \( [a,b], \{y_{n_k}\}\to \sigma\in [a,b] \).

¿Esto garantiza que    \( \sigma\in{\{y_n\}} \)?

¿Esto garantiza que    \( \sigma\in{\{y_{n_k}\}} \)?

No, no lo garantiza ni falta que hace.

Sigues dándole vueltas a la posibilidad de que el límite \( \sigma \) de la sucesión \( \{y_{n_k}\} \) coincida con un término de la misma. Porque, ¿entiendes que es eso lo que estás escribiendo cuando pones  \( \sigma\in{\{y_{n_k}\}} \), no?.

Se me acaban las cosas que decir al respecto. Algunas observaciones:

1) Dicho coloquialmente: aunque puede ocurrir, "casi nunca" el límite de una sucesión coincide con término alguno de la misma.
2) No hay nada en como se construye está sucesión concreta y su subsucesión convergente que invite a pensar que eso ocurre.
3) No hace falta para que se cumpla el teorema que eso ocurra; lo que usamos es que el límite de \( f(y_{n_k}) \) es cero y eso coincide con la imagen del límite de \( y_{n_k}, \) es decir, con la imagen de \( \sigma \).
4) Es más en principio los \( f(y_{n_k}) \) NO son cero (su límite es cero, pero los términos de esa sucesión quizá no); entonces no ayudaría en nada que \( \sigma=y_{n_k} \) para localizar nuestro punto de anulación.

Saludos.

19 Septiembre, 2020, 10:56 am
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

 martiniano aporta aquí otra prueba del resultado:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114314.msg452679;topicseen#msg452679

 Me parece oportuno separarla en otro hilo para mayor claridad en el planteamiento de posibles dudas y/o matices sobre cada enfoque.

Saludos.

19 Septiembre, 2020, 02:33 pm
Respuesta #15

Buscón

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4) Por el Teorema (C) la sucesión \( \{y_n\} \) contenida en el compacto \( [a,b] \) tiene una subsucesión convergente \( a \) un punto de \( [a,b], \{y_{n_k}\}\to \sigma\in [a,b] \).

¿Esto garantiza que    \( \sigma\in{\{y_n\}} \)?

¿Esto garantiza que    \( \sigma\in{\{y_{n_k}\}} \)?

No, no lo garantiza ni falta que hace.

Ok, no lo garantiza ni falta que hace.

En


5) Por el Teorema (A) la subsucesión \( \{f(y_{n_k})\} \) de \( \{f(y_n)\} \) converge al mismo límite que ésta, es decir, a cero.

6) Por el Teorema (B) y por el paso (4), como \( f \) es continua y \( \{y_{n_k}\}\to \sigma \), deducimos que \( \{f(y_{n_k})\} \) converge a \( f(\sigma) \) con \( \sigma\in [a,b] \).

7) Por (6) tenemos que \( \{f(y_{n_k})\}\to f(\sigma) \) y por 5) que \( \{f(y_{n_k})\}\to 0 \). Por el Teorema (D), como el límite de una sucesión si existe es único, de deduce que \( f(\sigma)=0 \) y por tanto la función se anula en \( \sigma\in [a,b]. \)

queda garantizado que efectivamente la función se anula en algún punto. Concretamente en    \( \rho \)

Pasa algo rarísimo. Sigo el razonamiento, lo entiendo y no veo fisuras, pero en cuanto vuelvo sobre el tema después de unas instantes y trato verlo sin seguir el razonamiento que pones vuelven las dudas. Supongo que es cuestión de asimilación, no lo sé.

¿Quizás se trata de hacer un mejor grabado en memoria, (o una mejor comprensión), de los conceptos, (y/o teoremas), que intervienen y confiar en ellos sin estar cuestionándolos continuamente?

Supongo que es eso, es como tirarse en paracaídas, El paracaídas hay que revisarlo antes de tirarse, nunca en vuelo, una vez en vuelo lo importante es confiar en la revisión que se a hecho y aterrizar.

19 Septiembre, 2020, 05:36 pm
Respuesta #16

robinlambada

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Hola.

Pasa algo rarísimo. Sigo el razonamiento, lo entiendo y no veo fisuras, pero en cuanto vuelvo sobre el tema después de unas instantes y trato verlo sin seguir el razonamiento que pones vuelven las dudas. Supongo que es cuestión de asimilación, no lo sé.

¿Quizás se trata de hacer un mejor grabado en memoria, (o una mejor comprensión), de los conceptos, (y/o teoremas), que intervienen y confiar en ellos sin estar cuestionándolos continuamente?
Estoy totalmente de acuerdo contigo , sobre todo lo que marqué en azul y estoy convencido que más compañeros del foro opinan igual
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Supongo que es eso, es como tirarse en paracaídas, El paracaídas hay que revisarlo antes de tirarse, nunca en vuelo, una vez en vuelo lo importante es confiar en la revisión que se a hecho y aterrizar.

 :laugh: Me ha encantado el símil, es rotundo.

Saludos.
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19 Septiembre, 2020, 06:16 pm
Respuesta #17

Pie

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Pasa algo rarísimo. Sigo el razonamiento, lo entiendo y no veo fisuras, pero en cuanto vuelvo sobre el tema después de unas instantes y trato verlo sin seguir el razonamiento que pones vuelven las dudas. Supongo que es cuestión de asimilación, no lo sé.

¿Quizás se trata de hacer un mejor grabado en memoria, (o una mejor comprensión), de los conceptos, (y/o teoremas), que intervienen y confiar en ellos sin estar cuestionándolos continuamente?

Supongo que es eso, es como tirarse en paracaídas, El paracaídas hay que revisarlo antes de tirarse, nunca en vuelo, una vez en vuelo lo importante es confiar en la revisión que se a hecho y aterrizar.

Seguramente no sea el más indicado para dar consejos (a mi me cuesta horrores también), pero igual en vez de darle vueltas y vueltas a la teoría te ayudaría más buscar ejemplos concretos (funciones que cumplan la hipótesis) y comprobar en cada caso dónde se anulan, etc.. Y si por casualidad encontraras alguna que no se anula pues entonces ya sí que tendrías una razón de peso para poner en duda la teoría :)

Salu2
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19 Septiembre, 2020, 08:47 pm
Respuesta #18

Buscón

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Veréis. Creo que todo el follón que se montó es en gran parte debido a lo siguiente:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

19 Septiembre, 2020, 09:46 pm
Respuesta #19

robinlambada

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Veréis. Creo que todo el follón que se montó es en gran parte debido a lo siguiente:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?
Pero es que en la segunda interpretación nunca se puede dar la igualdad, nunca x=y

Puesto que si \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \) , implica que \(  f(x)=0  \, \xcancel{\color{red}\forall{}x \in{}[a,b]} \) (*)Corregido (Gracias Luis)

La única interpretación posible es la 1. (*)

Añadido.

P.D.: Cuando digo que la única


Saludos. interpretación posible es la 1, me refiero a la única no trivial, es decir en principio puede darse el caso x=y, pero con poco que se analice se llega al resultado trivial \( f(x)=0 \), a eso me refiero, que el caso x=y es trivialmente evidente.


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