Autor Tema: Probar que un conjunto es el campo de Fracciones de otro conjunto

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17 Septiembre, 2020, 03:21 am
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FerOliMenNewton

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Hola! Espero estén bien.
Recientemente, leí el concepto de "campo de fracciones" para un dominio integral(entero) conmutativo \( R \).
Y la manera de construirlo pues es considerando el conjunto \( R\times{R^{*}} \), donde \( R^{*}=R-\left\{{0}\right\} \), y definiendo la siguiente  relación de equivalencia en  \( R\times{R^{*}} \) :
 
\( (a,b)\sim{(a',b')}       \Leftrightarrow{ab'=b'a} \)
Entonces el campo de fracciones es el conjunto cociente \( (R\times{R^{*}}) / \sim{} \), y usualmente lo denotan por \( Q(R) \). Y bueno, el libro en el que estudio(Introduction to Ring Theory de P.M. Cohn) no puso ejemplos así que busqué y resulta que el clásico ejemplo es que el campo de fracciones de los enteros son los racionales! , i.e , \( Q(\mathbb{Z})=\mathbb{Q} \).
Sin embargo(y aunque intuitivamente tiene sentido), no hallé ninguna prueba, todos lo toman como algo obvio, pero ¿cómo puedo probarlo rigurosamente? Para empezar  \( Q(\mathbb{Z}) \) es un conjunto de clases de equivalencia así que en principio probar cualquiera de las dos inclusiones no me parece tan directa, hay alguna forma "elegante" de hacerlo? De antemano gracias.
Saludos.

17 Septiembre, 2020, 05:58 am
Respuesta #1

Gustavo

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Hola. Esa es la forma usual de construir los racionales a partir de los enteros. Mira por ejemplo la descripción en wikipedia.

17 Septiembre, 2020, 09:17 am
Respuesta #2

geómetracat

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Hay alguna forma "elegante" de hacerlo?

Depende de lo que sepas. Lo más elegante que se me ocurre es usar la propiedad universal del cuerpo de fracciones: todo morfismo de anillos \( \phi:R \to S \) que envía elementos no nulos de \( R \) a elementos invertibles de \( S \) extiende de manera única a un morfismo de anillos \( \tilde{\phi}:Q(R) \to S \).

Si aplicas esto a la inclusión \( i:\Bbb Z \to \Bbb Q \) tienes que extiende de manera única a un morfismo de anillos \( Q(\Bbb Z) \to \Bbb Q \), que por ser ambos cuerpos es inyectivo y por ser \( \Bbb Q \) cuerpo primo (no tiene subcuerpos propios) es exhaustivo, luego es un isomorfismo.

Este es un argumento muy limpio, pero quizás no da mucha idea de cómo es el isomorfismo. La idea detrás de la construcción del cuerpo de fracciones es que cada clase de equivalencia \( [(a,b)] \) representa a la fracción \( \frac{a}{b} \). De hecho, si te fijas la relación de equivalencia \( (a,b) \sim (a',b') \iff ab'=ba' \) es justamente la "igualdad de fracciones" del colegio: \( \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \iff ab'=ba' \).

Por tanto, un isomorfismo explícito (que en realidad es el mismo de antes y el único que hay) sería \( \phi:Q(\Bbb Z) \to {\color{red} \Bbb Q} \) dado por \( \phi([(a,b)]) \mapsto \frac{a}{b} \).

Corregido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Septiembre, 2020, 06:06 am
Respuesta #3

FerOliMenNewton

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Muchísimas gracias a ambos! :)
Ahora lo entiendo mejor :) .
Saludos!