Autor Tema: Matriz no invertible

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15 Septiembre, 2020, 04:23 am
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valeperez

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Sea A = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}&{0}\\{-1}&{2}&{-1}&{2}\\{3}&{1}&{3}&{1}\\{0}&{-1}&{0}&{1}\end{bmatrix}

Los vectores fila de la matriz A son de la forma (x,y,x,y), entonces están en subespacio vectorial de dimensión 2.
¿Por qué esto implica que la matriz no es invertible?

15 Septiembre, 2020, 05:21 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Esa matriz es de rango 2, para ser invertible debe ser de rango 4.

Nota más bien las columnas de la matriz, la primera es igual a la tercera y la segunda a la cuarta.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

15 Septiembre, 2020, 06:22 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Los vectores fila de la matriz A son de la forma (x,y,x,y), entonces están en subespacio vectorial de dimensión 2.
¿Por qué esto implica que la matriz no es invertible?

Se deduce de que para toda matriz \( A\in \mathbb{K}^{n\times n} \) de orden \( n \) con coeficientes en un cuerpo \( \mathbb{K} \), \( A \) es invertible si y sólo si, las filas de \( A \) forman un sistema linealmente independiente.

15 Septiembre, 2020, 11:14 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 El tema estaba repetido y lo habíamos bloqueado. He unido ambos en uno solo.

Saludos.

15 Septiembre, 2020, 08:50 pm
Respuesta #4

delmar

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Hola

Se te ha respondido en forma cierta. Otra forma básica y sencilla, parte del conocimiento de que una matriz no invertible se corresponde a una transformación lineal no invertible :

Toda matriz  \( A_{n \ x \ m}  \) es una representación de una transformación lineal \( T:V\rightarrow{W} \) donde V y W son espacios lineales respecto a un cuerpo de escalares K, de dimensión n y m respectivamente. Considerando las bases \( v_1,v_2, ...,v_n \) y \( w_1,w_2,...,w_m \) de V y W respectivamente, cada columna de la matriz por ejemplo la j, son las componentes de \( T(v_j) \) respecto a la base W es decir \( T(v_j)=\sum_{i=1}^n{a_{ij}w_i} \). Cuando hay 2 columnas iguales por ejemplo la j y la k se infiere que \( T(v_j)=T(v_k) \) en consecuencia T no es inyectiva y por ende tampoco es invertible y esto implica que su matriz A no es invertible. Es obvio que esto se puede ampliar cuando las columnas son linealmente dependientes.

Saludos

15 Septiembre, 2020, 09:17 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Sea A = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}&{0}\\{-1}&{2}&{-1}&{2}\\{3}&{1}&{3}&{1}\\{0}&{-1}&{0}&{1}\end{bmatrix}

Los vectores fila de la matriz A son de la forma (x,y,x,y), entonces están en subespacio vectorial de dimensión 2.
¿Por qué esto implica que la matriz no es invertible?

Una forma autocontenida (usando apenas la definición de inversible) de probar que NO inversible es la siguiente. Por la forma de las filas de \( A \) se tiene que:

\( A\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix} \)

 Si fuese inversible multiplicando por \( A^{-1} \) a ambos lados:

\( A^{-1}A\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}=A^{-1} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix} \)
\( Id\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix} \)  ¡Contradicción!.

Saludos.

15 Septiembre, 2020, 10:10 pm
Respuesta #6

delmar

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Hola

Sea A = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}&{0}\\{-1}&{2}&{-1}&{2}\\{3}&{1}&{3}&{1}\\{0}&{-1}&{0}&{1}\end{bmatrix}

Los vectores fila de la matriz A son de la forma (x,y,x,y), entonces están en subespacio vectorial de dimensión 2.
¿Por qué esto implica que la matriz no es invertible?

Una forma autocontenida (usando apenas la definición de inversible) de probar que NO inversible es la siguiente. Por la forma de las filas de \( A \) se tiene que:

\( A\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix} \)

 Si fuese inversible multiplicando por \( A^{-1} \) a ambos lados:

\( A^{-1}A\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}=A^{-1} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix} \)
\( Id\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix} \)  ¡Contradicción!.

Saludos.


Excelente aporte Luis Fuentes  :aplauso:

Saludos

15 Septiembre, 2020, 10:55 pm
Respuesta #7

robinlambada

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Si, excelente aporte Luis.
Según lo expuesto,  concluyo que cualquier matriz invertible si se multiplica por un vector fila o columna no nulo el resultado no puede ser el vector nulo, pues llegaríamos a una contradicción.

Saludos
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Septiembre, 2020, 11:09 pm
Respuesta #8

robinlambada

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Hola acabo de ver una posible prueba, pero no se las propiedades del modulo de un vector cuando viene dado como producto de una matriz por otro vector.

Pero intuyo que debe ser la siguiente:

Añadido: Mi intuición fallo, por tanto no tomar en consideración el spoiler, como me ha mostrado geometracat , ya que la demostración se basa en una definición incoherente

Spoiler
Si \( \vec{v}=A\vec{u} \)

Entonces , creo que en módulo tendremos: \( \left\|{\vec{v}}\right\|=\left |det{(A)}\right |\left\|{\vec{u}}\right\|    \) (*) , con \( \left |det{(A)}\right |\ \) el valor absoluto del determinante.

Entonces es fácil de probar.


  Si \( \left\|{\vec{0}}\right\|=\left |det{(A)}\right |\left\|{\vec{u}}\right\|   \)  , con \( \left\|{\vec{u}}\right\|\neq 0 \) , entonces necesariamente \( det{(A)}=0 \)


No se mi la definición (*) es correcta, pero como las traslaciones, giros y simetrías mantienen la norma de los vectores, me parece la correcta.
[cerrar]
Saludos.
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15 Septiembre, 2020, 11:55 pm
Respuesta #9

geómetracat

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Si, excelente aporte Luis.
Según lo expuesto,  concluyo que cualquier matriz invertible si se multiplica por un vector fila o columna no nulo el resultado no puede ser el vector nulo, pues llegaríamos a una contradicción.

Sí. De hecho, una matriz cuadrada es invertible si y solo si su núcleo (vista como aplicación lineal) es \( 0 \). Esto es fácil de ver pensando la matriz como aplicación lineal, ya que si el núcleo no es \( 0 \), la aplicación no es inyectiva y no puede tener inversa. Recíprocamente, si el núcleo es \( 0 \) la aplicación es inyectiva, y la fórmula de la dimensión te da que también es exhaustiva, luego es biyectiva y por tanto invertible.

Pero intuyo que debe ser la siguiente:

Si \( \vec{v}=A\vec{u} \)

Entonces , creo que en módulo tendremos: \( \left\|{\vec{v}}\right\|=\left |det{(A)}\right |\left\|{\vec{u}}\right\|    \) (*) , con \( \left |det{(A)}\right |\ \) el valor absoluto del determinante.

Esto es falso. De hecho, no puede haber ninguna fórmula del estilo de la que pones, porque puedes tener dos vectores con la misma norma cuyas imágenes tengan normas distintas.

Por ejemplo, considera la matriz:
$$A=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{pmatrix}$$
y los vectores \( u_1=(1,0), u_2=(0,1) \).
Ambos vectores tienen norma uno, sin embargo \( Au_1=(1,0) \) tiene norma uno, pero \( Au_2=(0,2) \) tiene norma dos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

16 Septiembre, 2020, 12:06 am
Respuesta #10

robinlambada

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Si, excelente aporte Luis.
Según lo expuesto,  concluyo que cualquier matriz invertible si se multiplica por un vector fila o columna no nulo el resultado no puede ser el vector nulo, pues llegaríamos a una contradicción.

Sí. De hecho, una matriz cuadrada es invertible si y solo si su núcleo (vista como aplicación lineal) es \( 0 \). Esto es fácil de ver pensando la matriz como aplicación lineal, ya que si el núcleo no es \( 0 \), la aplicación no es inyectiva y no puede tener inversa. Recíprocamente, si el núcleo es \( 0 \) la aplicación es inyectiva, y la fórmula de la dimensión te da que también es exhaustiva, luego es biyectiva y por tanto invertible.

Pero intuyo que debe ser la siguiente:

Si \( \vec{v}=A\vec{u} \)

Entonces , creo que en módulo tendremos: \( \left\|{\vec{v}}\right\|=\left |det{(A)}\right |\left\|{\vec{u}}\right\|    \) (*) , con \( \left |det{(A)}\right |\ \) el valor absoluto del determinante.

Esto es falso. De hecho, no puede haber ninguna fórmula del estilo de la que pones, porque puedes tener dos vectores con la misma norma cuyas imágenes tengan normas distintas.

Por ejemplo, considera la matriz:
$$A=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{pmatrix}$$
y los vectores \( u_1=(1,0), u_2=(0,1) \).
Ambos vectores tienen norma uno, sin embargo \( Au_1=(1,0) \) tiene norma uno, pero \( Au_2=(0,2) \) tiene norma dos.
Gracias, tienes toda la razón, precisamente estaba pensando en la definición de producto escalar como una matriz simétrica definida positiva y no me cuadraba con mi  definición.
Edito y corrijo lo expuesto.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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