[Pie]

Buenas. Me gustaría saber si esto que voy a poner es correcto (no porque lo piense, sino porque es lo que me da el Wolfram para distintos valores de k, pero a mi me parece muy extraño):

\( \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^{k\cdot{}x}}{x!} = 0,  si \hspace{0.1cm} k < 1 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^{k\cdot{}x}}{x!} = \infty,  si \hspace{0.1cm} k \geq{} 1 \)

Digo que me parece muy extraño porque con un k muy cercano a 1 (qué se yo, 0.9999999..) el numerador a penas varía, pero el Wolfram me da que tiende a 0. He probado también con la función gamma y ocurre lo mismo. Es algún fallo del Wolfram (o mío) o es algo obvio
(demostrable) que yo no soy capaz de ver?

Salu2

[Fernando Revilla]

En realidad, para todo \( k>0 \) y para \( x\to +\infty \) tenemos que \( x^{kx}\to (+\infty)^{+\infty}=+\infty \) y \( x!=\Gamma (x+1)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^xe^{-t}dt\to +\infty \).

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas. Me gustaría saber si esto que voy a poner es correcto (no porque lo piense, sino porque es lo que me da el Wolfram para distintos valores de k, pero a mi me parece muy extraño):

\( \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^{k\cdot{}x}}{x!} = 0,  si \hspace{0.1cm} k < 1 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^{k\cdot{}x}}{x!} = \infty,  si \hspace{0.1cm} k \geq{} 1 \)

Digo que me parece muy extraño porque con un k muy cercano a 1 (qué se yo, 0.9999999..) el numerador a penas varía, pero el Wolfram me da que tiende a 0. He probado también con la función gamma y ocurre lo mismo. Es algún fallo del Wolfram (o mío) o es algo obvio
(demostrable) que yo no soy capaz de ver?

Por la fórmula de Stirling tienes que \( x!\sim \sqrt{2\pi x}(x/e)^x \). Por tanto tu límite equivale a:

\( \displaystyle \lim_{x\to\infty} \dfrac{(e\cdot x^{k-1})^x}{\sqrt{2\pi x}}  \)

Si \( k\geq 1 \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}(e\cdot x^{k-1})^x=+\infty \) y además de forma exponencial. Por tanto el límite de ese cociente es infinito.

Si \( \color{red}k<1\color{black} \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}(e\cdot x^{k-1})^x=0 \). Por tanto el límite de ese cociente es cero.

Saludos.

CORREGIDO

[Pie]

Gracias Fernando y Luís. Pero no sé si entiendo. Lo que puse entonces es correcto o no? (me despista que habléis de k > 0, para que dé infinito, o no dé 0).

Salu2

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias Fernando y Luís. Pero no sé si entiendo. Lo que puse entonces es correcto o no? (me despista que habléis de k > 0, y no < 1, para que dé infinito).

Por mi parte fue una errata tonta. Ya la corregí. Fíjate que al aplicar Stirling el hecho de que aparezca \( (x^{k-1})^x \) es lo que hace que el caso \( k=1 \) sea el caso límite, ya que \( a^x \) tiende a infinito para \( a>1 \) y a cero para \( 0<a<1 \).

En cuanto a Fernando creo que el se refería a que el numerador tiende a infinito para cualquier valor positivo de \( k \). Me parece que el pensó que cuando escribiste:

Digo que me parece muy extraño porque con un k muy cercano a 1 (qué se yo, 0.9999999..) el numerador a penas varía, pero el Wolfram me da que tiende a 0. He probado también con la función gamma y ocurre lo mismo. Es algún fallo del Wolfram (o mío) o es algo obvio
(demostrable) que yo no soy capaz de ver?

El pensó que hablabas del límite del numerador sólo (que tendía a cero).

Saludos.

[Pie]

Ok, gracias Luís. Todo aclarado entonces. Con la fórmula de Stirling se entiende mejor. Lo que me parecía raro es que haciendo variar casi nada (tan poco como uno quiera) el numerador el límite del cociente pudiera pasar de 0 a infinito, pero con la fórmula de Stirling (no la conocía) se ve más claro que 1 es el limite para que dé un resultado o el otro (ya que ahí el numerador se va haciendo más pequeño )

Salu2

[Luis Fuentes]

Hola

Ok, gracias Luís. Todo aclarado entonces. Con la fórmula de Stirling se entiende mejor. Lo que me parecía raro es que haciendo variar casi nada (tan poco como uno quiera) el numerador el límite del cociente pudiera pasar de 0 a infinito, pero con la fórmula de Stirling (no la conocía) se ve más claro que 1 es el limite para que dé un resultado o el otro (ya que ahí el numerador se va haciendo más pequeño )

Si; pero eso es típico. Y es el germen de la teoría del caos: como pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pude variar de manera drástica el resultado final.

Saludos.

[geómetracat]

Ok, gracias Luís. Todo aclarado entonces. Con la fórmula de Stirling se entiende mejor. Lo que me parecía raro es que haciendo variar casi nada (tan poco como uno quiera) el numerador el límite del cociente pudiera pasar de 0 a infinito, pero con la fórmula de Stirling (no la conocía) se ve más claro que 1 es el limite para que dé un resultado o el otro (ya que ahí el numerador se va haciendo más pequeño )

Fíjate que es un fenómeno muy parecido al siguiente ejemplo mucho más común:
\( \lim_{x \to \infty} x^k = \infty \) si \( k>0 \)
\( \lim_{x \to \infty} x^k = 1 \) si \( k=0 \)
\( \lim_{x \to \infty} x^k = 0 \) si \( k<0 \).

Como dice Luis es un fenómeno bastante común, en muchos casos hay un valor "crítico" del parámetro que separa comportamientos totalmente distintos.

[Pie]

Gracias geómetracat. Sí, ya veo que es un fenómeno más común de lo que pensaba. Creo que me lié pensando que debían haber k's que dieran otros valores intermedios (de hecho todo esto viene de que intentaba encontrar un k que diera 1 para el límite del cociente, pero ya veo que eso era imposible XD)

Salu2

[Fernando Revilla]

En cuanto a Fernando creo que el se refería a que el numerador tiende a infinito para cualquier valor positivo de \( k \). Me parece que el pensó que cuando escribiste:

Digo que me parece muy extraño porque con un k muy cercano a 1 (qué se yo, 0.9999999..) el numerador a penas varía, pero el Wolfram me da que tiende a 0. He probado también con la función gamma y ocurre lo mismo. Es algún fallo del Wolfram (o mío) o es algo obvio
(demostrable) que yo no soy capaz de ver?

El pensó que hablabas del límite del numerador sólo (que tendía a cero).

Así es Luis. Buena lectura de los cerebros ajenos .