[Sintesis]

No me sale demostrar el  b, el a ya me salio.

a)¿Para qué valores de \( r \) la función \( y = e^{rx} \) satisface la ecuación diferencial \( 2y'' + y' - y = 0 \)?

Encontre: \( r_1 = \frac{1}{2} \) y \( r_2 = (-1) \)

b)Si \( r_1 \) y \( r_2 \) son los valores de \( r \) que encontró en el inciso a), demuestre que todo integrante de la familia de funciones \( y=ae^{r_1x}+be^{r_2x} \) también es una solución.


Gracias.

[robinlambada]

Hola:

No me sale demostrar el  b, el a ya me salio.

a)¿Para qué valores de \( r \) la función \( y = e^{rx} \) satisface la ecuación diferencial \( 2y'' + y' - y = 0 \)?

Encontre: \( r_1 = \frac{1}{2} \) y \( r_2 = (-1) \)

b)Si \( r_1 \) y \( r_2 \) son los valores de \( r \) que encontró en el inciso a), demuestre que todo integrante de la familia de funciones \( y=ae^{r_1x}+be^{r_2x} \) también es una solución.


Gracias.

En el apartado b) solo te dicen que pruebes que cualquier combinación lineal de las 2 soluciones, es solución de la ec. diferencial.

Se demuestra fácilmente sin más que probar que cumple la ecuación diferencial .( esto pasa por ser lineal y homogénea).
Pruébalo y verás que fácil, (aplica la linealidad de la derivada).
Saludos.

[Sintesis]

Gracias, entonces la demostración quedaria asi?:

\( y' = \frac{ae^{\frac{x}{2}}}{2}-be^{-x} \)
\( y'' = \frac{ae^{\frac{x}{2}}}{4}+be^{-x} \)

\( 0 = 2*(\frac{ae^{\frac{x}{2}}}{4}+be^{-x}) + (\frac{ae^{\frac{x}{2}}}{2}-be^{-x}) - (ae^{\frac{x}{2}}+be^{-x})  \)

Y desarrollando queda cero.

[robinlambada]

Gracias, entonces la demostración quedaria asi?:

\( y' = \frac{ae^{\frac{x}{2}}}{2}-be^{-x} \)
\( y'' = \frac{ae^{\frac{x}{2}}}{4}+be^{-x} \)

\( 0 = 2*(\frac{ae^{\frac{x}{2}}}{4}+be^{-x}) + (\frac{ae^{\frac{x}{2}}}{2}-be^{-x}) - (ae^{\frac{x}{2}}+be^{-x})  \)

Y desarrollando queda cero.

Si es así, la demostración es correcta.

En general le pasa a toda ec. diferencial lineal homogémnea. (por ello la solución general se obtiene como combinación lineal de todas las soluciones independientes.

(Te dejo la demostración para una de 2º grado, pero es igual para otro grado)

Sea \( ay''+by' +cy=0 \) (*) ,     con \( a=a(x) ,\, b=b(x), \,c=c(x) \)

Y sean \( y_1 \)    e   \( y_2 \) dos soluciones independientes de la ec. diferencial (*) , es decir:

\( ay_1''+by_1' +cy_1=0 \) (1)       y      \( ay_2''+by_2' +cy_2=0 \) (2)

Entonces \( y_h=\alpha y_1 + \beta y_2 \) , es solución de la ec. diferncial (*)

Demostración.
Sustituimos \( y_h \) en la ecuación.

 \( a(\alpha y_1 + \beta y_2)''+b(\alpha y_1 + \beta y_2)' +c(\alpha y_1 + \beta y_2)=0 \)  Por la linealidad de la derivada:

\( a(\alpha y''_1 + \beta y''_2)+b(\alpha y'_1 + \beta y'_2) +c(\alpha y_1 + \beta y_2)=0 \)

Agrupando en \( \alpha \, y \, \beta \) sacándolos factor común

\( \alpha(ay_1''+by_1' +cy_1)+\beta(ay_2''+by_2' +cy_2)=0   \), pero ambos paréntesis por (1) y(2) son cero.

\( \alpha\cdot{}(0)+\beta\cdot{}(0)=0\Rightarrow{}0=0   \)

Saludos.