Autor Tema: Curva con velocidad constante positiva

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13 Septiembre, 2020, 10:27 pm
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Steven_Math

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Buenas he estado resolviendo el siguiente ejercicio:

Si \( \alpha \) es una curva con velocidad constante \( c>0 \), mostrar que:

\begin{align*}
T=\dfrac{\alpha'}{c}, \ N=\dfrac{\alpha''}{\left\|{\alpha''}\right\|}, \ B=\dfrac{\alpha'\times\alpha''}{c\left\|{\alpha''}\right\|}, \ \kappa=\dfrac{\left\|{\alpha''}\right\|}{c^2}, \ \tau=\dfrac{\alpha'\times \alpha''\times \alpha '''}{c^2\left\|{\alpha''}\right\|^2}
\end{align*}

Donde para \( N \ B \) y \( T \), asumimos \( \alpha''\neq 0 \); es decir, \( \kappa>0 \).


Yo traté de probar así,
Como asumimos que \( \kappa>0 \), entonces podemos escoger un vector normal unitario \( N \) en la dirección \( \alpha'' \) tal que 
                                                                                 \(  \alpha''=\kappa.N \)
y por definición sabemos que  \( \kappa=\left\|{\alpha''}\right\| \) y \( \left\|{\alpha''}\right\|\neq 0 \), entonces
                                                                                 \( N= \dfrac{\alpha''}{\left\|{\alpha''}\right\|} \).

Pero no he podido llegar a la igualdad
                                                                   \( T= \dfrac{\alpha'}{c} \).
Luego,  como  \( B=T\times N \), entonces utilizando los valores de \( N \) y \( T \) anteriores, tenemos:

                                 \( B=\dfrac{\alpha'}{c}\times \dfrac{\alpha''}{\left\|{\alpha''}\right\|}= \dfrac{1}{c(\left\|{\alpha''}\right\|)}. (\alpha'\times \alpha'') \),

tampoco he podido encontrar las iguadades

\begin{align*}
 \kappa=\dfrac{\left\|{\alpha''}\right\|}{c^2}, \ \text{y} \ \tau=\dfrac{\alpha'\times \alpha''\times \alpha '''}{c^2\left\|{\alpha''}\right\|^2}
\end{align*}.


Les agradecería mucho su ayuda,
saludos.

13 Septiembre, 2020, 10:43 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas he estado resolviendo el siguiente ejercicio:

Si \( \alpha \) es una curva con velocidad constante \( c>0 \), mostrar que:

\begin{align*}
T=\dfrac{\alpha'}{c}, \ N=\dfrac{\alpha''}{\left\|{\alpha''}\right\|}, \ B=\dfrac{\alpha'\times\alpha''}{c\left\|{\alpha''}\right\|}, \ \kappa=\dfrac{\left\|{\alpha''}\right\|}{c^2}, \ \tau=\dfrac{\alpha'\times \alpha''\times \alpha '''}{c^2\left\|{\alpha''}\right\|^2}
\end{align*}

Donde para \( N \ B \) y \( T \), asumimos \( \alpha''\neq 0 \); es decir, \( \kappa>0 \).


Yo traté de probar así,
Como asumimos que \( \kappa>0 \), entonces podemos escoger un vector normal unitario \( N \) en la dirección \( \alpha'' \) tal que 
                                                                                 \(  \alpha''=\kappa.N \)
y por definición sabemos que  \( \kappa=\left\|{\alpha''}\right\| \) y \( \left\|{\alpha''}\right\|\neq 0 \), entonces

Eso (en rojo) en principio sólo es válido si la curva está parametrizada por el parámetro longitud de arco.

Sea como sea el ejercicio es muy inmediato sin más que aplicar la definición de cada vector: tangente, normal y binormal. ¿Cómo te los han definido?.

Saludos.

13 Septiembre, 2020, 11:20 pm
Respuesta #2

Steven_Math

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Hola

Sea como sea el ejercicio es muy inmediato sin más que aplicar la definición de cada vector: tangente, normal y binormal. ¿Cómo te los han definido?.

Saludos.
Estamos utilizando el texto guía:

Do Carmo, Manfredo, Differential Geometry of curves and superfaces, Prentice Hall, 1976.

Para una curva  \( \alpha \)
Los han definido  de la forma:
Vector normal
Para cada punto donde \( \kappa(s) \neq 0 \)  podemos escoger un vectar unitario  \( N(s) \) en la dirección   \( \alpha'' \) tal que 
          \( \alpha''(s)=\kappa(s)N(s) \)

Vector tangencial
Es definido por
\( T(s)=\alpha'(s) \)

Vector binormal
Es definido por
\( B(s)=T(s)\times N(s) \)


Pero creo que de igual manera  con lo que colocaste en rojo, sólo  son validas las definiciones si la curva está parametrizada por el parámetro longitud de arco.


13 Septiembre, 2020, 11:38 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Pues por ejemplo ten en cuenta que si la curva dada está parametrizada como \( \alpha(t) \) dado que su velocidad \( c \) es constante, es decir, \( \|\alpha'(t)\|=c \), la parametrización por el parámetro longitud de arco es (mediante el cambio \( s=ct \)):

\(  \delta(s)=\alpha(s/c) \)

y

\( \delta'(s)=\dfrac{1}{c}\alpha'(s/c) \)
\( \delta''(s)=\dfrac{1}{c^2}\alpha''(s/c) \)

 He preferido cambiar el nombre de la parametrización longitud de arco (delta por alfa) par a mayor claridad.

 Entonces, por ejemplo, por definición \( T=\delta'(s) \), pero entonces por la regla de la cadena:

\( T(t)=T(s/c)=\delta'(s/c)=\dfrac{1}{c}\alpha'(s/c)=\dfrac{1}{c}\alpha'(t) \)

 Continúa...

Saludos.