Autor Tema: Unión de probabilidades condicionales en problema de Probabilidad Total y Bayes

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12 Septiembre, 2020, 04:49 am
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mathman

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Tenemos 5 cajas, designadas por \( U_1, U_2, \ldots , U_5 \), conteniendo cada una 10 piezas. La caja \( U_i \) tiene exactamente \( i \) piezas defectuosas. Elegimos una caja de las 5 al azar, y en ella una pieza al azar. Si la pieza seleccionada es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de las cajas \( U_3 \) o \( U_5 \)?

Sea \( A_i \) el suceso de elegir la caja \( U_i \) y \( B \) el suceso de elegir una pieza defectuosa. Primero hallemos la probabilidad total de \( B \),

\(
P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \dots + P(A_5)P(B|A_5) = \frac{3}{10}.
 \)

Ahora apliquemos el Teorema de Bayes.

\(
P(A_3|B)=\frac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)}=\frac{0.06}{0.3}=\frac{1}{5},
 \)

\(
P(A_5|B)=\frac{P(A_5)P(B|A_5)}{P(B)}=\frac{0.1}{0.3}=\frac{1}{3}.
 \)

Puesto que los eventos son disjuntos, entonces

\(
P(A_3\cup A_5|B)=P(A_3|B)+P(A_5|B)=\frac{8}{15}.\quad(\alpha)
 \)


¿Estoy aplicando correctamente el Teorema de Probabilidad Total y el Teorema de Bayes? En el paso (\( \alpha \)) ignoro la intersección que aparece en una de mis fórmulas de probabilidades condicionales precisamente porque asumo que las probabilidades \( A_3 \) y \( A_5 \) son mutuamente exclusivas.

Edición: removí "probabilidades \( A \) y \( B \) son mutuamente exclusivas", quise decir "\( A_3 \) y \( A_5 \)".

12 Septiembre, 2020, 09:57 am
Respuesta #1

geómetracat

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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Septiembre, 2020, 12:22 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

La caja \( U_i \) tiene 10 piezas o \( i  \) piezas?

Del enunciado:

Tenemos 5 cajas, designadas por \( U_1, U2, \ldots , U5 \), conteniendo cada una 10 piezas. a caja \( U_i \) tiene exactamente \( i \) piezas defectuosas. Elegimos una caja de las 5 al azar, y en ella una pieza al azar. Si la pieza seleccionada es defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de las cajas \( U_3 \) o \( U_5 \)?

parece claro que cada una de las cajas tiene \( 10 \) piezas y de ellas, cada caja \( U_i \) tiene \( i \) defectuosas.

Saludos.

12 Septiembre, 2020, 12:37 pm
Respuesta #3

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Por como me apareció distribuido el texto en el móvil la palabra defectuosa me quedo fuera de la vista, postee lo que viste , luego comencé a buscar el porcentaje de defectuosos, leí bien, y borre mi post, pero era tarde ya lo habías visto.
El problema esta bien resuelto . Si la cantidad de defectos en una caja no depende del contenido de las demás la unión de conjuntos es nula, por la causa que escribes.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

12 Septiembre, 2020, 05:32 pm
Respuesta #4

mathman

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Gracias por sus aclaraciones, geómetracat, Luis, y Richard.  :laugh: