Autor Tema: Prob. de elegir 7 posiciones contiguas de 10 total y 3 posic. contiguas de 10 t.

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11 Septiembre, 2020, 11:41 pm
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mathman

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Un parqueadero para carros tiene 10 lugares disponibles colocados en línea. Siete carros de diferentes modelos llegan al estacionamiento. Cuál es la probabilidad de que:

  • Los 7 carros se estacionen todos juntos sin dejar lugar vacío entre ellos.
  • Los 3 lugares vacíos queden juntos.


  • El número total de combinaciones posibles para parquear 7 carros en 10 lugares es \( \binom{10}{7}=120 \). Si los carros están parqueados sin dejar lugar vacío entre ellos, entonces existen únicamente 4 maneras distintas de hacer esto. El hecho se puede apreciar abajo, donde 1 significa posición ocupada y 0 significa posición vacía.

    1: 1111111000
    2: 0111111100
    3: 0011111110
    4: 0001111111

    Sea \( A \) el evento de 7 carros todos juntos en 10 lugares, luego \( P(A) = \frac{4}{120} \).

  • Sea \( B \) el evento de 3 lugares vacíos contiguos y 7 carros parqueados, de nuevo, con un diagrama se puede ver que \( P(B) = \frac{8}{120}. \)

    1: 0001111111
    2: 1000111111
    3: 1100011111
    4: 1110001111
    5: 1111000111
    6: 1111100011
    7: 1111110001
    8: 1111111000

    Por tanto, \( P(A\cap B) = \frac{4}{120}\cdot \frac{8}{120} \) y \( P(B|A) =\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{1}{15} \).


¿Estoy en lo correcto?

¿Qué manera hay de resolver el problema de forma estrictamente analítica?

También pensé en responder b así: \( P(B|A) = \frac{4}{120} \cdot \frac{1}{2} \) porque "dada la probabilidad de parquear los 7 carros juntos, la probabilidad de, además, tener 3 lugares vacíos juntos se reduce a la mitad"(esto se ve en el primer diagrama de unos y ceros). ¿Este inciso (b) está preguntando por \( P(A\cap B) \) o \( P(B|A) \)?

Este último punto me tiene bastante confundido.

11 Septiembre, 2020, 11:56 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

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Un parqueadero para carros tiene 10 lugares disponibles colocados en línea. Siete carros de diferentes modelos llegan al estacionamiento. Cuál es la probabilidad de que:

  • Los 7 carros se estacionen todos juntos sin dejar lugar vacío entre ellos.
  • Los 3 lugares vacíos queden juntos.

El número total de combinaciones posibles para parquear 7 carros en 10 lugares es \( \binom{10}{7}=120 \). Si los carros están parqueados sin dejar lugar vacío entre ellos, entonces existen únicamente 4 maneras distintas de hacer esto. El hecho se puede apreciar abajo, donde 1 significa posición ocupada y 0 significa posición vacía.

1111111000
0111111100
0011111110
0001111111

Sea \( A \) el evento de 7 carros todos juntos en 10 lugares, luego \( P(A) = \frac{4}{120} \).[/li]

[li]

Sea \( B \) el evento de 3 lugares vacíos contiguos y 7 carros parqueados, de nuevo, con un diagrama se puede ver que \( P(B) = \frac{8}{120}. \)

0001111111
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1100011111
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1111111000

Hasta aquí de acuerdo.

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Por tanto, \( P(A\cap B) = \frac{4}{120}\cdot \frac{8}{120} \) y \( P(B|A) =\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{1}{15} \).

Esto no se a que viene. En (b) te preguntan directamente \( P(B) \).

\( P(A\cap B) \) sería la probabilidad de que los \( 7 \) aparquen juntos y además los espacios restantes vacíos también están juntos. Habría dos opciones entre las \( 120 \). Es decir \( P(A\cap B)=2/120=1/60 \).

\( P(B|A) \) sería la probabilidad de que los tres huecos quedasen juntos sabiendo que los \( 7 \) ocupados fueron contiguos: serían dos posiblidades entre \( 4 \). \( P(B|A)=2/4=1/2 \).

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¿Qué manera hay de resolver el problema de forma estrictamente analítica?

No sé muy bien que quieres decir con de manera analítica. Si te refieres a no hacer el conteo de los casos favorables enumerando todos ellos, puedes tener en cuenta lo siguiente. En general si tenemos \( n \) posiciones y escogemos \( k \), las  distintas configuraciones en que esas \( k \) son contiguas, son las distintas formas de colocar ese bloque de tamaño \( k \) entre dos de las \( n-k \) posiciones restantes (incluyendo ponerlo al principio o al final de todo): son \( n-k+1 \). En nuestro caso \( n=10 \); para (a), \( k=7 \) y para (b), \( k=3. \)

Saludos.

12 Septiembre, 2020, 03:44 am
Respuesta #2

mathman

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Muchas gracias, Luis, aclaraste todas mis dudas con ese post. Y sí, interpreté desastrozamente el enunciado, solo había que encontrar \( P(A) \) y \( P(B) \), yo pensaba que el inciso b estaba relacionado con el a de alguna manera. Edité el título. :)