[valeperez]

Decimos que una matriz \( P \) en \( M_n(\Bbb R) \) es idempotente si \( P^2 = P. \)
¿Qué posibles valores pueden tener los eigenvalores de \( P \)?
Y cuales son algunos ejemplos de matrices para todas las posibilidades.

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 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

[Luis Fuentes]

Hola

Decimos que una matriz \( P \) en \( M_n(\Bbb R) \) es idempotente si \( P^2 = P. \)
¿Qué posibles valores pueden tener los eigenvalores de \( P \)?
Y cuales son algunos ejemplos de matrices para todas las posibilidades.

Si \( \lambda \) es un autovalor de \( P \) significa que existe un vector no nulo \( u \) tal que \( Pu=\lambda u \). Pero entonces:

\( \lambda u=Pu=P^2u=P(Pu)=P\lambda u=\lambda(Pu)=\lambda^2 u \)

De ahí \( (\lambda-\lambda^2)u=0 \) y como \( u \) es vector no nulo, \( \lambda-\lambda^2=0 \).

Intenta continuar.

Si no te sale concreta las dudas.

Saludos.

[valeperez]

Entonces los eigenvectores serían 0 ó 1.

Y de los ejemplos podría estar la identidad y la matriz de 0.

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces los eigenvectores serían 0 ó 1.

Y de los ejemplos podría estar la identidad y la matriz de 0.

Correcto. También cualquier matriz diagonal con ceros y unos en la diagonal. O cualquiera de esas multiplicadas a izquierda y derecha por una matriz inversible y su inversa (\( ADA^{-1} \)).

Saludos.