Hola
Decimos que una matriz \( P \) en \( M_n(\Bbb R) \) es idempotente si \( P^2 = P. \)
¿Qué posibles valores pueden tener los eigenvalores de \( P \)?
Y cuales son algunos ejemplos de matrices para todas las posibilidades.
Si \( \lambda \) es un autovalor de \( P \) significa que existe un vector no nulo \( u \) tal que \( Pu=\lambda u \). Pero entonces:
\( \lambda u=Pu=P^2u=P(Pu)=P\lambda u=\lambda(Pu)=\lambda^2 u \)
De ahí \( (\lambda-\lambda^2)u=0 \) y como \( u \) es vector no nulo, \( \lambda-\lambda^2=0 \).
Intenta continuar.
Si no te sale concreta las dudas.
Saludos.