Autor Tema: Determinar cónicas (ii)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

11 Septiembre, 2020, 02:33 pm
Leído 54 veces

Bobby Fischer

  • Aprendiz
  • Mensajes: 469
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
    • chess.com
 ;D Hola,

Tengo un ejercicio que dice así:

Determinar las cónicas que tienen un contacto de segundo orden (osculatrices) con la cónica de ecuación \( x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2=0 \) en el punto \( (0:1:0) \) y que pasa por los puntos \( (3:6:-2),\, (1:0:1). \) 

Obviamente el punto \( (0:1:0) \) pertenece a la cónica lugar del enunciado, pero el punto \( (3:6:-2) \) también.

Si llamamos \( Q \) a la cónica del enunciado, tenemos que la variedad \( polar_Q(P): \begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_0}\\{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=x_0+x_2=0 \)

A continuación, se tienen la recta \( x_0+x_2=0 \) que acabamos de obtener y la que pasa por los puntos \( (0:1:0),\, (3:6:-2) \), que tiene por ecuación \( 2x_0+3x_2=0 \), por lo que una cónica del haz podría considerarse \( (x_0+x_2)(2x_0+3x_2)=0 \), que tiene por matriz representante \( \begin{bmatrix}{4}&{0}&{5}\\{0}&{0}&{0}\\{5}&{0}&{6}\end{bmatrix} \).

Falta ahora la segunda cónica para formar el haz. La elección de dicha cónica no sé hacerla, no sé muy bien de qué depende su elección. Pero intuitivamente es coger la recta de ecuación \( (x_0+x_2)^2=0 \) y decir que es una recta doble. Tendríamos que una matriz representante es \( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{1}\end{bmatrix} \), así que el haz viene dado por: \( \begin{bmatrix}{4\lambda_1+\lambda_2}&{0}&{5\lambda_1+\lambda_2}\\{0}&{0}&{0}\\{5\lambda_1+\lambda_2}&{0}&{6\lambda_1+\lambda_2}\end{bmatrix} \)

Por último queda imponer que el punto \( (1:0:1) \) pertenezca al lugar de dicha cónica, con lo que se obtiene \( 5\lambda_1+\lambda_2=0 \), consiguientemente la cónica buscada es \( (x_0+x_2)(x_0-x_2)=0 \).

Pero no me convence.

11 Septiembre, 2020, 05:20 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,047
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 ¿No habías preguntado ya por este ejercicio aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=111925.msg442447#msg442447 ?.

Saludos.

11 Septiembre, 2020, 06:49 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

  • Aprendiz
  • Mensajes: 469
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
    • chess.com
Hola

 ¿No habías preguntado ya por este ejercicio aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=111925.msg442447#msg442447 ?.

Saludos.

Sabía que había preguntado por determinación de cónicas, pero no recordaba que era el mismo ejercicio. Lo intento resolver y si tengo dudas pregunto de nuevo. Ya debería ser muy fácil; de todas formas, lo que sigue oculto para mí es por qué las cónicas del haz pueden elegirse de esa manera para llegar a la solución.