Autor Tema: ecuación logarítmica

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11 Septiembre, 2020, 09:59 am
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virgilio

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Buenos días a todos. ¿Alguien me podría ayudar con la siguiente ecuación logarítmica? No consigo despejar t. Muchas gracias y un saludo.

\( B\ln \left ( At+1 \right )= \ln \left (\displaystyle\frac{At}{2} \right ) \)

11 Septiembre, 2020, 12:14 pm
Respuesta #1

mg

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\( B\ln \left ( At+1 \right )= \ln \left (\displaystyle\frac{At}{2} \right ) \),

Primero observese que debe ser \( At>0 \), de lo contrario \( \ln\frac{At}{2} \) no existiría porque la función logaritmo no está definida para los números no positivos.

Aplicando las propiedades de los logaritmos llegamos a lo siguiente:
\( B\ln \left ( At+1 \right )= \ln \left( {At}\right )-\ln \left( {2}\right ) \), suponiendo que \( B\neq0 \) (si \( B=0 \) entonces \( \ln \left( {At}\right )=\ln \left( {2}\right ) \) y por tanto \( At=2 \))
\( B(\ln \left ( At+1 \right )-\frac{\ln \left( {At}\right )}{B})= -\ln \left( {2}\right ) \),
\( B(\ln \left ( \frac{At+1}{\sqrt[B]{At}} \right ))=-\ln \left( {2}\right ) \),

Ahora bien este cociente \( \frac{At+1}{\sqrt[B]{At}} \) es claro que es mayor que 1 para \( B\neq0 \) (compruebese),de modo que \( \ln \left ( \frac{At+1}{\sqrt[B]{At}}\right)>0 \), como tenemos que \( -\ln \left( {2}\right )<0 \) tiene que ser \( B<0 \). Podemos escribir \( B=-1\cdot{\left |{B}\right |} \). Por tanto:
\( -1\cdot \left |{B}\right | \cdot{}{\ln \left ( \frac{At+1}{(At)^{\frac{1}{\left |{B}\right |}}} \right ) }=-\ln \left ( {2}\right ) \), es decir
\( -{\ln \color{red}( \frac{(At+1)^{\left |{B}\right |}}{(At)}\color{red} ) }=-\ln \left ( {2}\right ) \)
\( \ln \color{red} \left (  \frac{(At+1)^{\left |{B}\right |}}{At} \right) \color{black}=\ln \left ( {2}\right ) \), tomando exponencial llegamos a la solución
\(   \color{red}(At+1)^{\left |{B}\right |}=2At \)
Como \( B<0 \)
\(   \color{red}\frac{1}{{(At+1)}^{B}}=2At \)


Un saludo

11 Septiembre, 2020, 06:21 pm
Respuesta #2

virgilio

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Muchas gracias mg. No sé si estaré un poco espeso  :-[, pero no consigo ver cómo despejar t de la última ecuación.

11 Septiembre, 2020, 06:32 pm
Respuesta #3

mg

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Hola Virgilio,

Desgraciadamente a mi no se me ocurre ninguna forma de despejar t, con suerte algún compañero del foro es capaz de terminar de resolverlo. Si hago algún avance lo publicaré.

Un saludo, espero que haya sido de ayuda.

11 Septiembre, 2020, 08:04 pm
Respuesta #4

virgilio

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11 Septiembre, 2020, 08:35 pm
Respuesta #5

mg

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He corregido el post en rojo, metí la pata en un paso. Ahora queda mejor

11 Septiembre, 2020, 10:31 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Buenos días a todos. ¿Alguien me podría ayudar con la siguiente ecuación logarítmica? No consigo despejar t. Muchas gracias y un saludo.

\( B\ln \left ( At+1 \right )= \ln \left (\displaystyle\frac{At}{2} \right ) \)

Resumiendo un poco lo presentado hasta ahora y de manera algo más directa, queda:

\( \ln \left ( (At+1)^B \right )= \ln \left (\displaystyle\frac{At}{2} \right ) \)

\( (At+1)^B=\dfrac{At}{2} \)

Esa ecuación NO puede en general resolver por métodos explícitos (salvo para valores particulares de \( B \)). Habría que recurrir a métodos numéricos que aproximen la solución computacionalmente.

Saludos.

12 Septiembre, 2020, 07:23 pm
Respuesta #7

virgilio

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Muchas gracias Luis por tu aclaración. Un saludo.