Autor Tema: Determinar si dos sucesos secuenciales son independientes

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11 Septiembre, 2020, 07:29 am
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mathman

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Hola, acabo de iniciar mi primer curso de probabilidad y tengo una duda respecto al siguiente problema:

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Una cervecera utiliza dos máquinas embotelladoras, pero no operan simultáneamente. La segunda máquina actúa como sistema de respaldo de la primera y opera solo cuando la primera se descompone durante las horas de trabajo. La probabilidad de que la primera se descomponga durante las horas de trabajo es 0.2. Si efectivamente, la primera se descompone, se enciende la segunda y tiene una probabilidad de descomponerse de 0.3.

a) ¿Qué probabilidad hay de que el sistema embotellador de la cervecera no esté funcionado en horas de trabajo?

b) Si el sistema está funcionando, ¿qué probabilidad hay de que la primera máquina no funcione?

Lo resolvería así:

Sea \( A \) el evento del fallo de la primera máquina durante las horas de trabajo y \( B \) el evento del fallo de la segunda. Luego \( P(A)=0.2 \) y \( P(B|A)=0.3 \).

a) Puesto que el sistema solo falla si ambas máquinas fallan, la probabilidad de que el sistema embotellador no funcione en las horas de trabajo es

\( P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B|A) = 0.2\cdot 0.3 = 0.06 \).

b) Sea \( S = (A\cap B)' \) el evento de que el sistema está funcionando en horas de trabajo, su probabilidad es \( P(S) = 1 - P(A\cap B) = 1 - 0.06 = 0.94 \). Calculemos \( P(A\cap S) \), es decir, la probabilidad de que la primera máquina no esté funcionando pero el sistema sí:

\( P(A\cap S) = P(A)\cdot P(S) = 0.2\cdot 0.94 = 0.188 \).

Para esto asumí que los dos eventos son independientes, pero me confunde el hecho de que, respetando los supuestos del enunciado, \( B \) no puede ocurrir si antes no ha ocurrido \( A \).

¿Es correcta mi solución? ¿Hay alguna otra forma de interpretar el problema?

Gracias por su atención.

11 Septiembre, 2020, 08:20 am
Respuesta #1

Masacroso

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Tienes que \( S=(A \cap B)^\complement =A^\complement \cup B^\complement  \), es decir, el sistema está funcionando si alguna de las máquinas no falla. Ahora fíjate que \( A\cap S=A\cap (A^\complement \cup B^\complement)=(A\cap A^\complement )\cup (A\cap B^\complement )=A \cap B^\complement  \), es decir, la primera no está funcionando pero la segunda sí. No sabemos si \( A \) y \( B^\complement  \) son independientes ya que eso se verifica numéricamente, en cualquier caso parece que no ya que la segunda máquina sólo puede estar encendida cuando la primera falla.

Una forma de resolver esto es observar que \( 1=P(B\cup B^\complement  |A)=P(B^\complement |A)+P(B|A) \) ya que los eventos \( B\cap A \) y \( B^\complement \cap A \) son necesariamente incompatibles (son conjuntos disjuntos). De ahí ya puedes despejar \( P(A\cap B^\complement ) \).

En general suele ser útil observar que la función \( P(\,\cdot\, |A) \) es también una función de probabilidad, en algunos libros la denotan como \( P_A \).

11 Septiembre, 2020, 09:40 am
Respuesta #2

geómetracat

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Un asunto de interpretación. Cuando te piden la probabilidad de que la primera máquina no funcione si el sistema está funcionando, no te están pidiendo \( P(S \cap A) \) sino \( P(A\mid S) \). Fíjate en la diferencia: el primero es la probabilidad de que el sistema está funcionando pero la primera máquina no, pero tu no sabes nada de antemano sobre si el sistema funciona o no. En el segundo caso, tú ya sabes que el sistema está funcionando (por tanto sabes con certeza que o la primera máquina o la segunda funciona), y quieres calcular la probabilidad de que la primera máquina falle bajo este supuesto.

Para mí la forma más sencilla de resolver este tipo de problemas es usando la fórmula de Bayes. Y desde luego, no puedes suponer que los sucesos \( S \) y \( A \) son independientes (no lo son).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Septiembre, 2020, 09:32 pm
Respuesta #3

mathman

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Muchas gracias, @Masacroso y @geómetracat. Entiendo que puedo resolver el inciso b así:

\( P(A|S) = \frac{P(A\cap S)}{P(S)}=\frac{0.14}{0.94}, \)

puesto que

  • \(  S=(A\cap B)^c\Rightarrow A\cap S = (A\cap B^c) \)
  • \(  P(B^c|A)=1-P(B|A)=0.7 \)
  • \( P(A\cap B^c)=P(A)P(B^c|A)=0.2\cdot 0.7=0.14 \)
Aparte de esto, ¿hay alguna manera de "mencionar" (o "taggear") miembros del foro para que reciban notificación de respuesta? No sé si esta función se use en el foro.


11 Septiembre, 2020, 10:12 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias, @Masacroso y @geómetracat. Entiendo que puedo resolver el inciso b así:

\( P(A|S) = \frac{P(A\cap S)}{P(S)}=\frac{0.14}{0.94}, \)

Está bien.

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Aparte de esto, ¿hay alguna manera de "mencionar" (o "taggear") miembros del foro para que reciban notificación de respuesta? No sé si esta función se use en el foro.

A no ser que ellos hayan desactivado la opción, por omisión ya reciben aviso de las respuestas a hilos en los que han intervenido.

Saludos.