Autor Tema: Problema de sucesiones

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09 Septiembre, 2020, 10:58 pm
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Julio_fmat

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Sea \( u_n \) la sucesión definida por \( u_0=u_1=1 \) y \( u_{n+2}=u_{n+1}+\dfrac{u_n}{n+1} \). Mostrar que \( 1\le u_n\le n^2 \) para cada \( n\ge 1. \)
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

09 Septiembre, 2020, 11:11 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Podrías poner lo que intentas en cada ejercicio.
Para \( n=1  \) tenemos:
\(  u_1 = 1 \leq 1^2  \)
Para \( n=2 \) tenemos:
\(  u_2 = u_1 + \dfrac{u_0}{1} = 2 < 2^2  \) entonces lo suponemos cierto para \( n \geq 2  \) y lo verificamos para \( n+1 \)
\( u_{n+2} = u_{n+1} + \dfrac{u_n}{n+1} \leq (n+1)^2 + \dfrac{n^2}{n+1} < (n+1)^2 + \dfrac{(n+1)^2}{n+1} = n^2+2n+1+n+1 = n^2+3n+2 < n^2+4n+4  \)

10 Septiembre, 2020, 12:29 am
Respuesta #2

delmar

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Hola

Otra forma, como lo ha demostrado Juan Pablo Sancho, \( u_1, u_2 \) cumplen la desigualdad entonces si se demuestra en forma genérica que el cumplimiento de  \( u_n,u_{n+1} \) implica el cumplimiento de \( u_{n+2} \) el teorema queda demostrado.

\( 1\leq{u_n}\leq{n^2}\Rightarrow{\frac{1}{n+1}\leq{\frac{u_n}{n+1}}\leq{\frac{n^2}{n+1}}} \) Inec. 1

\( 1\leq{u_{n+1}}\leq{(n+1)^2} \) Inec. 2

Sumando las dos inecuaciones.

\( \frac{1}{n+1}+1\leq{u_{n+2}}\leq{\frac{n^2}{n+1}+(n+1)^2} \)


Solamente queda demostrar que \( (n+2)^2>\frac{n^2}{n+1}+(n+1)^2 \) lo cual es sencillo y en consecuencia \( 1\leq{u_{n+2}}\leq{(n+2)^2} \) lo cual demuestra el teorema.


Saludos