Autor Tema: Contraejemplo inductivo

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09 Septiembre, 2020, 10:48 pm
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Julio_fmat

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Encontrar el error en el siguiente razonamiento. Dado \( n>0 \), sea \( P(n) \) la propiedad: \( \forall a,b>0, \max(a,b)=n \implies a=b. \)

Es falsa, porque por ejemplo \( \max(1,2)=2 \), pero \( 1\ne 2 \). ¿Alguna otra falla en la inducción?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

10 Septiembre, 2020, 02:37 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Julio_fmat, el contraejemplo está bien.

10 Septiembre, 2020, 11:57 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Encontrar el error en el siguiente razonamiento. Dado \( n>0 \), sea \( P(n) \) la propiedad: \( \forall a,b>0, \max(a,b)=n \implies a=b. \)

Es falsa, porque por ejemplo \( \max(1,2)=2 \), pero \( 1\ne 2 \). ¿Alguna otra falla en la inducción?

¿Estás seguro de qué el enunciado es ese? Que la propiedad \( P(n) \) es falsa para \( n>1 \) es obvio. Pero este es un ejemplo típico que se presenta para entender bien las demostraciones por inducción y no dejarse "colar" falsas pruebas.

Suele presentarse la siguiente "demostración" de esa \( P(n) \):

- Para \( P(1) \), la propiedad es trivialmente cierta: si \( a \) y \( b \) son naturales y \( max(a,b)=1 \) entonces \( a=b=1 \).
- Suponemos cierto \( P(n) \) y probamos \( P(n+1) \). Supongamos que \( max(a,b)=n+1 \); queremos probar que \( a=b \).
Pero si \( max(a,b)=n+1 \) entonces \( max(a-1,b-1)=n \). Por hipótesis de inducción \( a-1=b-1 \) y entonces \( a=b \).

¡Listo! Hemos probado por inducción la propiedad \( P(n) \). ¡Upsa!, pero quedamos en que esta propiedad era falsa.

¿Qué falla entonces en la demostración propuesta? Esa es la gracia del ejercicio. Intenta responder a esa pregunta.

Saludos.