Autor Tema: Grado y coeficientes de un polinomio

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09 Septiembre, 2020, 10:26 pm
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Julio_fmat

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Dado un polinomio \( P \) de grado \( M \), mostrar que existe un polinomio \( \sigma \) de grado \( M-1 \) tal que \( P(M)=\displaystyle\sum_{n=0}^M\sigma(n) \). Calcular los coeficientes de \( \sigma \) para polinomios \( P=a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0 \) de grado \( 3. \)

Hola, como puedo hacerlo para este caso particular?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

09 Septiembre, 2020, 10:58 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Dado un polinomio \( P \) de grado \( M \), mostrar que existe un polinomio \( \sigma \) de grado \( M-1 \) tal que \( P(M)=\displaystyle\sum_{n=0}^M\sigma(n) \). Calcular los coeficientes de \( \sigma \) para polinomios \( P=a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0 \) de grado \( 3. \)

Hola, como puedo hacerlo para este caso particular?

Si defines:

\( \sigma(x)=p(x)-p(x-1)+cte \)

Tienes:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^M\sigma(n)=p(M)-p(-1)+(M+1)cte \)

Tomando \( cte=\dfrac{p(-1)}{M+1} \) lo tienes.

Saludos.

P.D. ¿Estás seguro de que el enunciado es exactamente así?. Tal como está hay muchísimos polinomios cumpliendo esa condición. De hecho uno puede tomar cualquier polinomio \( g(x)  \)de grado \( M-1 \) y tomar \( \sigma(x)=g(x)+cte \) para una constante adecuada.