Autor Tema: Primos de Fermat

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09 Septiembre, 2020, 10:13 pm
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Julio_fmat

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Para \( n\ge 0 \) entero, denotemos \( F_n=2^{2^n}+1 \) el \( n \)-ésimo primo de Fermat. Mostrar por inducción que para cada \( n\ge 1 \) se tiene que \( \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} F_k=F_n-2 \). Deducir que los primos de Fermat son coprimos dos a dos. Deducir que hay infinitos primos.
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09 Septiembre, 2020, 11:21 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Tienes una errata:
Para \( n\ge 0 \) entero, denotemos \( F_n=2^{2^n}+1 \) el \( n \)-ésimo número de Fermat. Mostrar por inducción que para cada \( n\ge 1 \) se tiene que \( \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} F_k=F_n-2 \). Deducir que los primos de Fermat son coprimos dos a dos. Deducir que hay infinitos primos.

Mira en número de fermat

14 Septiembre, 2020, 09:26 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Tienes una errata:
Para \( n\ge 0 \) entero, denotemos \( F_n=2^{2^n}+1 \) el \( n \)-ésimo número de Fermat. Mostrar por inducción que para cada \( n\ge 1 \) se tiene que \( \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} F_k=F_n-2 \). Deducir que los primos de Fermat son coprimos dos a dos. Deducir que hay infinitos primos.

Mira en número de fermat

Gracias Juan Pablo Sancho, pero como queda la induccion?
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14 Septiembre, 2020, 09:39 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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La demostración la tienes en el enlace que puse, en el punto: propiedades de los números de Fermat.

11 Octubre, 2020, 09:30 pm
Respuesta #4

Julio_fmat

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Vemos que se cumple para \( n=1 \). Es decir, se tiene que \( F_1=2^{2^1}+1=4+1=5. \) Supongamos cierto para algún \( n\ge 1, n \in \mathbb{N} \) y mostremos que se cumple para \( k=n+1. \) Entonces,

\( \begin{eqnarray*}
\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n} F_k \right)\cdot F_n&=&(F_n-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}+1-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}-1)(2^{2^n}+1)\\
&=&2^{2^{n+1}}-1\\
&=&2^{2^{n+1}}+1-2\\
&=&F_{n+1}-2
\end{eqnarray*}
 \)

No me queda muy claro la coprimalidad, pero se me ocurre hacer que \( \text{mcd}(F_n,F_m)=1 \), \( \forall m,n \ge 1 \). ¿Como demostrarlo?
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11 Octubre, 2020, 09:43 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Vemos que se cumple para \( n=1 \). Es decir, se tiene que \( F_1=2^{2^1}+1=4+1=5. \) Supongamos cierto para algún \( n\ge 1, n \in \mathbb{N} \) y mostremos que se cumple para \( k=n+1. \) Entonces,

\( \begin{eqnarray*}
\color{red}\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n} F_k \right)\cdot F_n\color{black}&=&(F_n-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}+1-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}-1)(2^{2^n}+1)\\
&=&2^{2^{n+1}}-1\\
&=&2^{2^{n+1}}+1-2\\
&=&F_{n+1}-2
\end{eqnarray*}
 \)

Hay una errata al principio sería:

\( \left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n} F_k \right)=\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} F_k \right)F_n=(F_n-2)F_n \)

Citar
No me queda muy claro la coprimalidad, pero se me ocurre hacer que \( \text{mcd}(F_n,F_m)=1 \), \( \forall m,n \ge 1 \). ¿Como demostrarlo?

Si supones \( m>n \) por lo que has probado tienes que \( F_m-2 \) es múltiplo de \( F_n \). Es decir \( F_m=kF_n+2 \). Por tanto el único posible factor común entre ambos es el \( 2 \). Pero son impares.

Saludos.

11 Octubre, 2020, 10:16 pm
Respuesta #6

Julio_fmat

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Hola

Vemos que se cumple para \( n=1 \). Es decir, se tiene que \( F_1=2^{2^1}+1=4+1=5. \) Supongamos cierto para algún \( n\ge 1, n \in \mathbb{N} \) y mostremos que se cumple para \( k=n+1. \) Entonces,

\( \begin{eqnarray*}
\color{red}\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n} F_k \right)\cdot F_n\color{black}&=&(F_n-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}+1-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}-1)(2^{2^n}+1)\\
&=&2^{2^{n+1}}-1\\
&=&2^{2^{n+1}}+1-2\\
&=&F_{n+1}-2
\end{eqnarray*}
 \)

Hay una errata al principio sería:

\( \left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n} F_k \right)=\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} F_k \right)F_n=(F_n-2)F_n \)

Citar
No me queda muy claro la coprimalidad, pero se me ocurre hacer que \( \text{mcd}(F_n,F_m)=1 \), \( \forall m,n \ge 1 \). ¿Como demostrarlo?

Si supones \( m>n \) por lo que has probado tienes que \( F_m-2 \) es múltiplo de \( F_n \). Es decir \( F_m=kF_n+2 \). Por tanto el único posible factor común entre ambos es el \( 2 \). Pero son impares.

Saludos.

Gracias Luis, se me fue al escribirlo. Ahm, esa es la justificación que me faltaba.

Saludos.
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