Vemos que se cumple para \( n=1 \). Es decir, se tiene que \( F_1=2^{2^1}+1=4+1=5. \) Supongamos cierto para algún \( n\ge 1, n \in \mathbb{N} \) y mostremos que se cumple para \( k=n+1. \) Entonces,
\( \begin{eqnarray*}
\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n} F_k \right)\cdot F_n&=&(F_n-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}+1-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}-1)(2^{2^n}+1)\\
&=&2^{2^{n+1}}-1\\
&=&2^{2^{n+1}}+1-2\\
&=&F_{n+1}-2
\end{eqnarray*}
\)
No me queda muy claro la coprimalidad, pero se me ocurre hacer que \( \text{mcd}(F_n,F_m)=1 \), \( \forall m,n \ge 1 \). ¿Como demostrarlo?