Autor Tema: Ejercicio de homomorfismo

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08 Septiembre, 2020, 11:23 pm
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lcdeoro

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Si \( G=G_1 \times G_2 \) es un producto directo de grupos, se define \( \pi: G\longrightarrow{G_1} \) y \( \epsilon: G_1 \longrightarrow{G} \) por \( \pi(g_1,g_2)=g_1 \) y \( \epsilon(g_1)=(g_1,1) \). Demostrar que \( \pi \) es un homomorfismo suprayectivo y \( \epsilon \) es un homomorfismo inyectivo.

\( \pi((g_1,g_2);(g_1^{\prime},g_2^{\prime}))=\pi((g_1g_1^{\prime},g_2g_2^{\prime})=g_1g_1^{\prime}=\pi(g_1,g_2)\pi(g_1^{\prime},g_2^{\prime}) \) es homomorfo. Y como para cada \( g_1\in{G_1} \) existe \( g_2\in{G_2} \) tal que \( \pi(g_1,g_2)=g_1 \) entonces es suprayectivo.

\( \epsilon(g_1g_1^{\prime})=(g_1g_1^{\prime},1)=(g_1,1)(g_1^{\prime},1)=\epsilon(g_1)\epsilon(g_1^{\prime}) \) es homomorfo.

Si \( \epsilon(g_1)=\epsilon(g_1^{\prime})\Longrightarrow{}(g_1,1)=(g_1^{\prime},1)\Longrightarrow{g_1=g_1^{\prime}} \) Entonces es inyectivo.

Vengo a ver si me revisan lo que hice, porque siento que me salio muy trivial y no estoy 100% seguro de que no tenga errores.

09 Septiembre, 2020, 08:05 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Vengo a ver si me revisan lo que hice, porque siento que me salio muy trivial y no estoy 100% seguro de que no tenga errores.

Es correcto lo que has hecho. Sólo una cuestión linguística: se diría \( \pi \) es homomorfismo, no \( \pi \) es homomorfo. Ídem con \( \epsilon \).