Autor Tema: Demuestra que el anillo es conmutativo

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08 Septiembre, 2020, 02:02 pm
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mg

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Sea (A,+,x) un anillo con la propiedad de que para \( a\in{A} \) se verifica que \( a\times{}a=a \) y \( a+a=0 \). Demuestra que el anillo es conmutativo.

Llevo un rato peleandome con el ejercicio pero no consigo probarlo. Espero que me puedan ayudar.
Un saludo

08 Septiembre, 2020, 02:13 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea (A,+,x) un anillo con la propiedad de que para \( a\in{A} \) se verifica que \( a\times{}a=a \) y \( a+a=0 \). Demuestra que el anillo es conmutativo.

Llevo un rato peleandome con el ejercicio pero no consigo probarlo. Espero que me puedan ayudar.
Un saludo

Por hipótesis tienes:

\( (x+y)(x+y)=x+y \), \( x\cdot x=x \), \( y\cdot y=y \)

De ahí deduce que: \( xy+yx=0 \). Ahora de la segunda condición \( yx+yx=0 \). Concluye.

Saludos.

P.D Por comodidad he usado la notación usual de producto ponieno un punto o nada en lugar de la cruz.

08 Septiembre, 2020, 04:45 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Sea (A,+,x) un anillo con la propiedad de que para \( a\in{A} \) se verifica que \( a\times{}a=a \) y \( a+a=0 \). Demuestra que el anillo es conmutativo.

Aunque el enunciado es correcto, sobra la condición \( a+a=0 \), pues ésta se deduce de que \( a^2=a \). Mira el primer apartado de Anillo idempotente.

08 Septiembre, 2020, 05:04 pm
Respuesta #3

mg

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Vaya una vez conoces la respuesta parece muy simple.

Muchas gracias a ambos.