Autor Tema: Centralizador de un grupo

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08 Septiembre, 2020, 06:30 am
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lcdeoro

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Si \( H \) es un subgrupo normal de \( G \) y \( \left |{H}\right |=2 \) demostrar que \( H\subseteq{Z(G)} \). Es cierto lo anterior si \( \left |{H}\right |=3 \).

Se me ocurre lo siguiente:  Como \( \left |{H}\right |=2\Longrightarrow{H=\left\{{e,h}\right\}} \) donde \( e\neq h \), luego como \( H \) es normal en \( G \)

Entonces \( ghg^{-1}\in{H} \) para todo \( g\in{G} \). Si \( ghg^{-1}=h\Longrightarrow{gh=hg} \) y si \( ghg^{-1}=e\Longrightarrow{h=e} \) lo cual no es posible. y así \( h\in{Z(G)} \)

Además sabemos que \( e\in{Z(G)} \), por tanto \( H\subseteq{Z(G)} \)

Sé que no se cumple si \( \left |{H}\right |=3 \) pero no logro encontrar el contraejemplo.

08 Septiembre, 2020, 08:38 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Sé que no se cumple si \( \left |{H}\right |=3 \) pero no logro encontrar el contraejemplo.

Creo que te debería funcionar con \( S_3 \), el grupo de permutaciones sobre 3 elementos, y un subgrupo suyo de orden tres (sólo hay uno). Compruébalo a ver...

Cualquier cosa insiste. Un saludo.