Autor Tema: Encontrando el núcleo de un homomorfismo entre dos cuerpos cocientes.

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08 Septiembre, 2020, 04:00 am
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lindtaylor

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Hola. Tengo una consulta sobre el kernel de este homomorfismo.
Dado \( F \) un cuerpo y \( K=F(\sqrt{d})  \)con \( \sqrt{d}\in F^{\times}\setminus (F^{\times})^2 \) se define un homomorfismo natural \( \varphi:F^{\times}/(F^{\times})^2\to K^{\times}/(K^{\times})^2 \) dado por \( \varphi(x(F^{\times})^2)=x(K^{\times})^2 \).
No sé si es inmediato, pero según yo, \( \ker(\varphi)=(K^{\times})^2 \) pero no estoy seguro.
....

08 Septiembre, 2020, 08:58 am
Respuesta #1

geómetracat

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No, no tiene sentido porque \( (K^\times)^2 \) no está contenido en \( F^\times \) (ni en \( (F^\times)/(F^\times)^2 \)) es más grande en general. El núcleo está formado por las clases \( x(F^\times)^2 \) tales que \( x \in (K^\times)^2 \). Es decir, son las clases de los elementos de \( F \) que son un cuadrado en \( K \). Por tanto el asunto se reduce a analizar qué elementos de \( F \) son cuadrados en \( K \).

Un elemento de \( K \) es de la forma \( a+b\sqrt{d} \) con \( a,b \in F \). Su cuadrado es \( a^2+b^2d + 2ab\sqrt{d} \). Para que el cuadrado esté en \( F \) debes tener \( 2ab=0 \). Si \( F \) es de característica \( 2 \) eso es automático y tienes que elementos de \( F \) que son cuadrados en \( K \) son todos los de la forma \( a^2+b^2d \). Si no es de característica \( 2 \), debes tener \( a=0 \) o \( b=0 \), es decir, que elementos de \( F \) que son cuadrados en \( K \) son los que ya eran cuadrados en \( F \), y los que son un producto de un cuadrado en \( F \) por \( d \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)