Autor Tema: Mostrar que la expresion es un numero perfecto

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06 Septiembre, 2020, 11:00 pm
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Julio_fmat

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Sea \( m\in \mathbb{Z}^{+} \). Mostrar que si \( 2^{m+1}-1 \) es primo, entonces \( 2^m(2^{m+1}-1) \) es perfecto.

Hola, alguna idea para este problema?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

07 Septiembre, 2020, 12:47 am
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Sea \( m\in \mathbb{Z}^{+} \). Mostrar que si \( 2^{m+1}-1 \) es primo, entonces \( 2^m(2^{m+1}-1) \) es perfecto.

Hola, alguna idea para este problema?
Por ser  \( 2^{m+1}-1 \) primo, entonces m es par, sino \( 2^{m+1}-1 \)  se podrá descomponer como suma por diferencia ( aunque esto no es relevante).

Lo relevante es la fórmula de la suma de dividores:

Sea $$q=a^nb^m$$ , con a y b primos, entonces \( \sum div(q)=(1+a+a^2+\ldots a^n)(1+b+b^2+\ldots b^m) \)
y cada sumatorio es una progresión geométrica, Es decir que \[ (1+a+a^2+\ldots a^n)=a^{n+1}-1 \]

Saludos.

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

07 Septiembre, 2020, 10:00 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola.
Sea \( m\in \mathbb{Z}^{+} \). Mostrar que si \( 2^{m+1}-1 \) es primo, entonces \( 2^m(2^{m+1}-1) \) es perfecto.

Hola, alguna idea para este problema?
Por ser  \( 2^{m+1}-1 \) primo, entonces m es par, sino \( 2^{m+1}-1 \)  se podrá descomponer como suma por diferencia ( aunque esto no es relevante).

Lo relevante es la fórmula de la suma de dividores:

Sea $$q=a^nb^m$$ , con a y b primos, entonces \( \sum div(q)=(1+a+a^2+\ldots a^n)(1+b+b^2+\ldots b^m) \)
y cada sumatorio es una progresión geométrica, Es decir que \[ (1+a+a^2+\ldots a^n)=a^{n+1}-1 \]

Saludos.

Muchas Gracias, pero no me queda muy claro el razonamiento. ¿ Porque usamos la formula de la suma de divisores?
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07 Septiembre, 2020, 11:20 pm
Respuesta #3

robinlambada

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Muchas Gracias, pero no me queda muy claro el razonamiento. ¿ Porque usamos la formula de la suma de divisores?
¿?
La usamos porque debemos sumar los divisores, es la forma de comprobar que un número es perfecto, cuando la suma de sus divisores propios coincide con el propio número.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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