Autor Tema: Imagen de un polinomio

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06 Septiembre, 2020, 10:53 pm
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Julio_fmat

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Explicar porqué la sucesion \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m (4n^3-3n^2+2n-1) \) es la imagen de un polinomio en \( m \). ¿De cuál grado es el polinomio?
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06 Septiembre, 2020, 11:46 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Julio_fmat.

Si definimos el polinomio \( q(x)=4x^3-3x^2+2x-1 \), entonces

    \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m q(n) \)

es decir, es la suma de los polinomios \( q(x) \) evaluados en \( n=0,1,2,\dots m \), y como la suma (finita) de polinomios es un polinomio, \( s_m \) es un polinomio evaluado en \( x=m \). Además, como cada uno de estos polinomios tiene grado menor o igual a 3, entonces el polinomio resultante tendrá grado menor o igual a 3 también.

¿Cuál sería este polinomio? Este polinomio evaluado en \( m \) es:

     \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m (4n^3-3n^2+2n-1)=4\sum_{n=0}^m n^3-3\sum_{n=0}^m n^2+2\sum_{n=0}^m n-\sum_{n=0}^m1 \)

y esas sumatorias seguro las conoces (son ejercicios típicos que uno demuestra cuando ve el tema de inducción). ¿Puedes concluir desde acá para descubrir el polinomio (evaluaco en \( m \))?


Sugerencia: cuando tengas este tipo de dudas, verifica el enunciado para \( m=1 \), \( m=2 \) y \( m=3 \) (por darte un ejemplo). Sólo una vez que te convenzas en los casos pequeños trata de pensar el problema para un \( m \) cualquiera. Dicho de otro modo, no puedes concluir un resultado en general antes de visualizar casos particulares.

07 Septiembre, 2020, 10:17 am
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Creo que hay un pequeño error en el razonamiento de mathtruco en cuanto a lo del grado. Fíjate en que, por ejemplo:  \[ \sum_{n=1}^m{1}=m \] es de grado 1, o que \[ \sum_{n=1}^m{n}=\frac{m(m+1)}{2} \] es de grado 2. En general  \[ \sum_{n=1}^m{n^k} \] es de grado \[ k+1 \]. En lo demás estoy en todo de acuerdo.

El polinomio buscado también se puede hallar resolviendo la relación de recurrencia:

\[ \begin{cases}{s_m-s_{m-1}=q(m)}\\s_0=-1\end{cases} \]

Un saludo.

07 Septiembre, 2020, 05:34 pm
Respuesta #3

mathtruco

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Toda la razón martiniano, error mío.

Mi error viene de que, claro que sumar \( m \) polinomios de grado \( n \) dará un polinomio de grado menor o igual a \( n \), pero con esas fórmular uno halla su evaluación en el punto \( m \), que como bien dices puede tener un grado más.

07 Septiembre, 2020, 10:06 pm
Respuesta #4

Julio_fmat

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Gracias por la ayuda, entonces el grado del polinomio es \( k+1=3+1=4 \)?
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08 Septiembre, 2020, 02:54 am
Respuesta #5

mathtruco

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Con lo explicado anteriormente debes poder responder tu duda. Si no es así, vuelve a leerlo hasta que te convenzas, es muy fácil de responder tu duda, si hasta puedes calcular el polinomio resultante (en realidad, uno de ellos, que son infinitos).

08 Septiembre, 2020, 08:31 am
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

Sólo una observación:

si hasta puedes calcular el polinomio resultante (en realidad, uno de ellos, que son infinitos).

¿Seguro que son infinitos? A mí sólo me sale uno. Concretamente éste:

\( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m (4n^3-3n^2+2n-1)=4\sum_{n=0}^m n^3-3\sum_{n=0}^m n^2+2\sum_{n=0}^m n-\sum_{n=0}^m1 \)

Polinomio que según lo que se ha dicho es de cuarto grado, evidentemente. O el que sale de resolver la siguiente ecuación en diferencias con condición inicial (debería ser el mismo):

\[ \begin{cases}{s_m-s_{m-1}=q(m)}\\s_0=-1\end{cases} \]

Que tiene solución única por los teoremas de existencia y unicidad, como el que se demuestra por ejemplo en el teorema 5.3.1 de este documento (junto con algo más).

Un saludo.

08 Septiembre, 2020, 10:42 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Si definimos el polinomio \( q(x)=4x^3-3x^2+2x-1 \), entonces

    \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m q(n) \)

es decir, es la suma de los polinomios \( q(x) \) evaluados en \( n=0,1,2,\dots m \), y como la suma (finita) de polinomios es un polinomio, \( s_m \) es un polinomio evaluado en \( x=m \). Además, como cada uno de estos polinomios tiene grado menor o igual a 3, entonces el polinomio resultante tendrá grado menor o igual a 3 también.

 O me estoy perdiendo algo, o además del error en el grado, tampoco veo que esté bien el razonamiento para justificar que \( s_m=r(m) \) para un cierto polinomio \( r(x) \). El número de polinomios que se suma depende de \( m \).

 Puede interesarte este hilo relacionado:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=7238.msg30214#msg30214

Saludos.

09 Septiembre, 2020, 01:51 pm
Respuesta #8

martiniano

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Hola.

O me estoy perdiendo algo, o además del error en el grado, tampoco veo que esté bien el razonamiento para justificar que \( s_m=r(m) \) para un cierto polinomio \( r(x) \). El número de polinomios que se suma depende de \( m \).

Ya... Yo creo que lo que tenía mathtruco en la cabeza era substituir los sumatorios de esta expresión por fórmulas conocidas:

     \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m (4n^3-3n^2+2n-1)=4\sum_{n=0}^m n^3-3\sum_{n=0}^m n^2+2\sum_{n=0}^m n-\sum_{n=0}^m1 \)

Asumiendo esas fórmulas es claro que el resultado va a ser un polinomio de cuarto grado, ya que la fórmula del primer sumatorio es un polinomio de cuarto grado, la del segundo sumatorio un polinomio de tercer grado, la del tercero uno de segundo grado y la del último un polinomio de grado 1. Serían estas:

\[ \sum_{n=0}^m n^3=\left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2 \]

\[ \sum_{n=0}^m n^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} \]

\[ \sum_{n=0}^m n=\frac{m(m+1)}{2} \]

\[ \sum_{n=0}^m 1=m \]

Si no se quiere exigir el conocimiento de esas fórmulas para contestar, uno también puede hacer uso de la teoría de las relaciones de recurrencia y aplicarla a la que he dado unas respuestas atrás.

El polinomio buscado también se puede hallar resolviendo la relación de recurrencia:

\[ \begin{cases}{s_m-s_{m-1}=q(m)}\\s_0=-1\end{cases} \]

Las soluciones de la homogénea asociada son las sucesiones constantes. Se puede hallar una solución particular ensayando un polinomio de cuarto grado. La solución general será dicho polinomio más una constante, es decir, un polinomio de cuarto grado. La constante se determina con la condición inicial.

A ver si esto aclara un poco el asunto. Un saludo.

09 Septiembre, 2020, 05:04 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

 Si, yo hablaba en genera de justificar que dado un polinomio \( p(x) \) de grado \( n \):

\( q(m)=\sum_{k=0}^m{}p(k) \)

 es un polinomio en \( m \) de grado \( n+1 \).

 Una forma de demostrarlo (y es la que apunta el enlace que indico) es a través de la sobreyectividad aplicación lineal \( f:\Bbb R_{n+1}[x ]\to \Bbb R_{n}[x ] \), \( f(r(x))=r(x+1)-r(x) \).

Saludos.