Autor Tema: Planos paralelos y coincidentes

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05 Septiembre, 2020, 11:41 pm
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nktclau

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Buenas tardes GENTE!

Si tengo dos planos en \( \mathbb{R}^3 \) que son paralelos y coincidentes , ¿está bien decir que existe una recta \( L=\pi_1\cap{\pi_2} \) siendo esos planos los paralelos y coincidentes?

Gracias

05 Septiembre, 2020, 11:47 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No, porque \( \pi_1 \cap \pi_2 \) es un plano, no una recta. Puedes decir que en la intersección hay infinitas rectas (todas las contenidas en \( \pi_1=\pi_2 \)).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Septiembre, 2020, 12:40 am
Respuesta #2

nktclau

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Muchas Gracias, por responder geómetracatantes que nada!
Entonces creo estoy un poco perdida con el siguiente enunciado, a ver si puedo despejar mi duda.
Consideremos los siguientes planos \( \begin{cases}{\pi_1:x-3y+kz=-2}\\ \pi_2:(k^2-9)y+(k-3)z=3k\\ \pi_3:x+(k^2-12)y+(2k-3)z=3k-2 \\ \pi_4: (k^2-5k+6)z=k^2+k-6\end{cases} \)

Me solicitan indique, justificando mi respuesta, si es verdadero o falso la siguiente proposición. Sea \( L=\pi_1\cap{}\pi_4 \) existen \( k \in{\mathbb{R}} \) tal que \( L\subseteq{\pi_3} \).

Entonces escaloné el sistema formado por \( \pi_1 \) y \( \pi_4 \) Asi \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \) tenemos un sistema compatible indeterminado, siendo la matriz ampliada resultante
\( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&k &|&-2\\{0}&{0}&1&|&\frac{k+3}{k-3}\end{pmatrix} \)

Si \( k=2\Longrightarrow{\begin{pmatrix}{1}&{-3}&2&|&-2\\{0}&{0}&0&|&0\end{pmatrix}} \) ambos planos son paralelos y coincidentes

Si \( k=3\Longrightarrow{\begin{pmatrix}{1}&{-3}&3&|&-2\\{0}&{0}&0&|&-9\end{pmatrix}} \) ambos planos son paralelos no coincidentes.

Por lo que la unica opción haya \( L=\pi_1\cap{\pi_4} \) es considerar la opcion 1\( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&k &|&-2\\{0}&{0}&1&|&\frac{k+3}{k-3}\end{pmatrix} \) siempre que \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \)

¿como puedo proseguir?

GRACIAS!!!

06 Septiembre, 2020, 01:33 am
Respuesta #3

delmar

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Hola nktclau

Estas desarrollando bien, ya se tiene la recta L, detallándola es : \( L=\left\{{(x,y,z)} \ / \ z=\frac{k+3}{k-3}, \ x-3y+\frac{k+3}{k-3}=-2, \ k\neq 3, \ k\neq 2 \right\} \) esta definida de esa manera por que cumple las condiciones de los planos \( \pi_1, \pi_4 \). Para responder a la interrogante has de averiguar las condiciones de k para que los puntos de la recta cumplan la condición del plano \( \pi_3 \), sustituyendo x,z se tiene :

\( (-2+3y-\frac{k+3}{k-3})+(k^2-12)y+(2k-3) (\frac{k+3}{k-3})=3k-2, \ k\neq 3, \ k\neq 2 \)


Observa que hay un variable y, para que se de la igualdad, el coeficiente que la afecta a de anularse.



Saludos

06 Septiembre, 2020, 08:03 pm
Respuesta #4

nktclau

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Hola Delmar MUCHAS GRACIAS por responder!!

Tu respuesta me orientó mucho y básicamente lo pensé de la siguiente manera.

Sabiendo que:
La unica opción haya \( L=\pi_1\cap{\pi_4} \) es considerar la opcion 1\( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&k &|&-2\\{0}&{0}&1&|&\frac{k+3}{k-3}\end{pmatrix} \) siempre que \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \)

Entonces debería  ver que agregando una tercera ecuacion al  sistema de ecuaciones lineales, en particular la del plano  \( \pi_3: x+(k^2-12)y+(2k-3)z=3k-2 \) tendría que ver si existe \( k \in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \) tal que el mismo sea un sistema compatible indeterminado, es decir los 3 planos se intersectan en una misma recta. Recta que, como ya vimos \( L=\pi_1\cap{\pi_4} \) por lo tanto significa que esa misma recta esta incluida en \( \pi_3 \)

De esta forma me queda lo siguiente:

\( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{k}&|& -2\\{0}&{0}&{1}&|&\frac{k+3}{k-3}\\{0}&{k^2-12}&{2k-3}&|& 3k-2\end{bmatrix} \)

Al escalonar  \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3,-3}\right\} \) (tuve que excluir otro valor en el proceso) tenemos un sistema compatible determinado para todos esos valores de \( k \).

Y si \( k=-3 \) tengo un sistema incompatible.

Por lo que no existe valores de \( k\in{\mathbb{R}} \) tal que el sistema sea compatible indeterminado.

Por lo tanto la propocisión es falsa. ¿es correcto el razonamiento? (los cálculos no)

Por otro lado seguí tu linea de razonamiento Delmar  pues me orientaste enseguida.  Pero hay algo que no me dió como a tí, (mediante mis cálculos la proposicion es falsa, y de acuerdo a lo que me dices habría un \( k \) que satisface lo pedido) y no se si estoy haciendo halgo mal. Paso a explicar.

Por lo que la unica opción haya \( L=\pi_1\cap{\pi_4} \) es considerar la opcion 1\( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&k &|&-2\\{0}&{0}&1&|&\frac{k+3}{k-3}\end{pmatrix} \) siempre que \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \)

Hasta aqui estamos de acuerdo. si vuelvo al sistema tengo la ecuación de una recta que queda expresada como interseccion de dos planos,
\( L=\begin{cases}x-3y+kz=-2\\ z=\frac{k+3}{k-3}\end{cases} \) siempre que \( k\neq2  \) y \( k\neq3 \).

El vector director de la recta es \( \vec{d}_L=(-3,-1,0) \) y un punto que pertenezca a la recta, en función de \( k \) sería \( P=\left(0; \frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)},\frac{k+3}{k-3}\right) \)siempre que \( k\neq2  \) y \( k\neq3 \).

Asi la recta \( L:(x,y,z)=\left(0; \frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)},\frac{k+3}{k-3}\right) + \beta (-3,-1,0) \) con \( \beta \in{\mathbb{R}} \) siempre que \( k\neq2  \) y \( k\neq3 \).

En forma paramétrica quedaría de la siguiente forma: \( L=\begin{cases}{x}&=&-3\beta\\y &=&\frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)}-\beta \\z & =&\frac{k+3}{k-3} \end{cases} \) siempre que \( k\neq2  \) y \( k\neq3 \) y \( \beta \in{\mathbb{R}} \)

Ahora debería ver si existe un \( k\in{\mathbb{R}} \) tal que \( k\neq2 \) y \( k\neq3 \) con \( \beta \in{\mathbb{R}} \) de la recta \( L \) que satisfaga la ecuación del plano  \( \pi_3: x+(k^2-12)y+(2k-3)z=3k-2 \)

Es decir, resolver

\( -3\beta+ (k^2-12)\cdot \left[ \frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)}-\beta \right]+(2k-3) \cdot \frac{k+3}{k-3} =3k-2 \)  :o :o :o :o

Se me hizo super tedioso trabajarlo y lo saque por la primer forma.  ;D ;D

Muchas Gracias!
Saludos

07 Septiembre, 2020, 01:58 am
Respuesta #5

robinlambada

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Hola, un detalle.

Entonces escaloné el sistema formado por \( \pi_1 \) y \( \pi_4 \) Asi \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \) tenemos un sistema compatible indeterminado, siendo la matriz ampliada resultante
\( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&k &|&-2\\{0}&{0}&1&|&\frac{k+3}{k-3}\end{pmatrix} \)

Si \( k=2\Longrightarrow{\begin{pmatrix}{1}&{-3}&2&|&-2\\{0}&{0}&0&|&0\end{pmatrix}} \) ambos planos son paralelos y coincidentes

Si \( k=3\Longrightarrow{\begin{pmatrix}{1}&{-3}&3&|&-2\\{0}&{0}&0&|&-9\end{pmatrix}} \) ambos planos son paralelos no coincidentes.

Si realmente hubieras escalonado, entonces si puedes afirmar que una opción son planos paralelos y en la otra coincidentes.

Pero realmente no as escalonado, el ultimo plano originalmente ya esta escalonado, es  de la forma\[ \begin{pmatrix}{0}&{0}&{k^2-5k+6}&{|k^2+k-6}\end{pmatrix} \]

Entonces realmente para k=3 te queda que \[ 0=9  \] y para k=2 que \[ 0=0 \] , es decir que el cuarto plano desaparece en el primer caso por ser una contradicción.

Y en el segundo caso podemos decir que tenemos todo el espacio \[ \mathbb{R}^3 \]

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

07 Septiembre, 2020, 03:29 pm
Respuesta #6

nktclau

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Hola robinlambada Muchas Gracias por responder!!  :)

Nuestro profesor nos dió la siguiente definición respecto a una matriz escalonada reducida,
Spoiler
[cerrar]
Esta definición la extrajo de forma literal del libro de Algebra Lineal (7ma edición - Autor Stanley I. Grossman)


En particular cuando uno escalona una matriz por renglones, es decir (sin llevarla a la forma escalonada reducida)
Spoiler
[cerrar]

Por lo tanto si presento la matriz \( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{k}&|& -2\\{0}&{0}&{k^2-5k+6}&|&k^2+k-6\end{bmatrix} \)


Y le digo que ya lo escaloné o que ya está escalonado, él me dirá que no esta cumpliendo con el punto ii de la definición 1.2.2

Para que vea mejor la matriz  \( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&3&|&-2\\{0}&{0}&0&|&-9\end{pmatrix} \)  No está escalonada porque no cumple el punto ii de la definición 1.2.2 ese \( -9 \) debe ser \( 1 \) o \( 0 \) , falta escalonar.

Una vez escalonada de forma correcta, en cualquiera de sus formas (reducida o por renglones) debo aplicar el Teorema de Rocuhé Frobenius.

Por eso lo hice de esa manera  ;) ;)

Pregunta
De todas formas ¿llegas a la misma conclusión que yo? ¿es decir la proposición: Sea \(  L=\pi_1∩\pi_4 \)  existen \( k∈ \mathbb{R} \) tal que \( L⊆\pi_3 \).  es falsa?

Muchas Gracias de nuevo.
Saludos

07 Septiembre, 2020, 05:39 pm
Respuesta #7

robinlambada

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Hola nktclau
Spoiler
Hola robinlambada Muchas Gracias por responder!!  :)

Nuestro profesor nos dió la siguiente definición respecto a una matriz escalonada reducida,
Spoiler
[cerrar]
Esta definición la extrajo de forma literal del libro de Algebra Lineal (7ma edición - Autor Stanley I. Grossman)


En particular cuando uno escalona una matriz por renglones, es decir (sin llevarla a la forma escalonada reducida)
Spoiler
[cerrar]

Por lo tanto si presento la matriz \( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{k}&|& -2\\{0}&{0}&{k^2-5k+6}&|&k^2+k-6\end{bmatrix} \)


Y le digo que ya lo escaloné o que ya está escalonado, él me dirá que no esta cumpliendo con el punto ii de la definición 1.2.2

Para que vea mejor la matriz  \( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&3&|&-2\\{0}&{0}&0&|&-9\end{pmatrix} \)  No está escalonada porque no cumple el punto ii de la definición 1.2.2 ese \( -9 \) debe ser \( 1 \) o \( 0 \) , falta escalonar.

Una vez escalonada de forma correcta, en cualquiera de sus formas (reducida o por renglones) debo aplicar el Teorema de Rocuhé Frobenius.

Por eso lo hice de esa manera  ;) ;)

Pregunta
De todas formas ¿llegas a la misma conclusión que yo? ¿es decir la proposición: Sea \(  L=\pi_1∩\pi_4 \)  existen \( k∈ \mathbb{R} \) tal que \( L⊆\pi_3 \).  es falsa?

Muchas Gracias de nuevo.
Saludos
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Para gustos colores, en esta definición de matriz escalonada no necesariamente el primer elemento distinto de cero de cada fila debe ser 1, puede ser cualquier número.
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Pero me da igual la definición, (se suele llamar escalonar a crear los escalones , no a que todos tengan altura unidad ) pero bueno puedo aceptar la definición que das. Lo importante no es una u otra definición.

Lo que te quiero decir que ni  \( 0=0 \) , ni \( 0=9 \) son planos y esto se da cuando sustituyes k=2 y k=3 en la ecuación original del plano $$\pi _4$$, por tanto en estos casos dejas de tener plano, por ello no tiene sentido hablar de posiciones relativas con un solo plano.

Para que veas a que me refiero. si tenemos los planos:

 $$\pi _1: x+y+z=0$$
 $$\pi _2: -x-y-k^2z=(k-1)(k-2)$$

\( k=1\Longrightarrow{\begin{pmatrix}{1}&{1}&1&|&0\\{-1}&{-1}&-1&|&0\end{pmatrix}} \) escalonando (sustituyo la  última fila por la suma): \( {\begin{pmatrix}{1}&{1}&1&|&0\\{0}&{0}&0&|&0\end{pmatrix}} \) 

A qui si puedo decir que los planos para k=1 son coincidentes, ya que al sustituir k=1 en la ecuación original, obtengo que $$\pi _2\equiv{}\pi _1$$

Pues  $$\pi _2: x+y+z=0$$ , si k=1

Y para K=-1, escalonando obtengo:
\( k=-1\Longrightarrow{\begin{pmatrix}{1}&{1}&1&|&0\\{0}&{0}&0&|&6\end{pmatrix}} \)  y sustituyendo en la ecuación original k=-1 obtengo un plano paralelo.

Pero esta es la diferencia fundamental, que debo sustituir, para ver si sigo teniendo un plano.

A nivel matricial la diferencia entre tu caso y mi ejemplo que que en el mio para "escalonar" he debido transformar los números distintos de cero del principio de la última fila, por ceros haciendo combinación lineal con la primera fila obligatoriaménte.

Sin embargo en tu plano "  $$\pi _4$$"  ya tenias los ceros directamente al hacer k=2 y k=3. (normalizar 1 o no hacerlo, no es relevante).

Respecto a tu pregunta no he tenido tiempo de revisar tu respuesta , ahora no puedo, en cuanto pueda le hecho un vistazo.

Saludos.

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07 Septiembre, 2020, 08:51 pm
Respuesta #8

delmar

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Por otro lado seguí tu linea de razonamiento Delmar  pues me orientaste enseguida.  Pero hay algo que no me dió como a tí, (mediante mis cálculos la proposicion es falsa, y de acuerdo a lo que me dices habría un \( k \) que satisface lo pedido) y no se si estoy haciendo halgo mal. Paso a explicar.

Por lo que la unica opción haya \( L=\pi_1\cap{\pi_4} \) es considerar la opcion 1\( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&k &|&-2\\{0}&{0}&1&|&\frac{k+3}{k-3}\end{pmatrix} \) siempre que \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \)

Hasta aqui estamos de acuerdo. si vuelvo al sistema tengo la ecuación de una recta que queda expresada como interseccion de dos planos,
\( L=\begin{cases}x-3y+kz=-2\\ z=\frac{k+3}{k-3}\end{cases} \) siempre que \( k\neq2  \) y \( k\neq3 \).

El vector director de la recta es \( \vec{d}_L=(-3,-1,0) \) y un punto que pertenezca a la recta, en función de \( k \) sería \( P=\left(0; \frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)},\frac{k+3}{k-3}\right) \)siempre que \( k\neq2  \) y \( k\neq3 \).

Asi la recta \( L:(x,y,z)=\left(0; \frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)},\frac{k+3}{k-3}\right) + \beta (-3,-1,0) \) con \( \beta \in{\mathbb{R}} \) siempre que \( k\neq2  \) y \( k\neq3 \).

En forma paramétrica quedaría de la siguiente forma: \( L=\begin{cases}{x}&=&-3\beta\\y &=&\frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)}-\beta \\z & =&\frac{k+3}{k-3} \end{cases} \) siempre que \( k\neq2  \) y \( k\neq3 \) y \( \beta \in{\mathbb{R}} \)

Ahora debería ver si existe un \( k\in{\mathbb{R}} \) tal que \( k\neq2 \) y \( k\neq3 \) con \( \beta \in{\mathbb{R}} \) de la recta \( L \) que satisfaga la ecuación del plano  \( \pi_3: x+(k^2-12)y+(2k-3)z=3k-2 \)

Es decir, resolver

\( -3\beta+ (k^2-12)\cdot \left[ \frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)}-\beta \right]+(2k-3) \cdot \frac{k+3}{k-3} =3k-2 \)  :o :o :o :o

Se me hizo super tedioso trabajarlo y lo saque por la primer forma.  ;D ;D

Muchas Gracias!
Saludos

nktclau la ecuación final a la que has llegado es correcta sencillamente hay que reordenarla :

\( [-3-(k^2-12)] \  \beta+[\frac{(k^2-12)(k+1)(k-6)}{3(k-3)}+\frac{(2k-3)(k+3)}{k-3}+2-3k] \ 1=0, \ k\neq 3, \ k\neq 2, \ \beta\in{R} \)
Se puede poner en forma simplificada :

\( C_1 \ \beta+C_2 \ 1=0 \) Ec. A

Donde los valores de las constantes son obvios.

\( \beta, \ 1 \) son polinomios de grado 1 y de grado cero respectivamente. El conjunto de los polinomios reales de grado menor o igual a 1, es un Espacio Lineal Real, respecto a la adición clásica de funciones y al producto por escalar real clásico de una función. \( \beta, \ 1 \) son una base de ese Espacio Lineal esto implica que son linealmente independientes y esto implica que las únicas constantes que satisfacen la Ec. A son \( C_1=0\wedge C_2=0 \) de la primera se obtiene \( k=3 \vee k=-3 \) en consecuencia la única posibilidad es \( k=-3 \) pero sustituyendo en la expresión de \( C_2 \) se obtiene \( 14=0 \) en consecuencia es falsa, verifica, las cuentas las he hecho en forma ligera.

La complicación viene por la forma de parametrizar, se podría haber tomado como parámetro y y se llegaba a la ecuación que mostré :


\( (-2+3y-\frac{k+3}{k-3})+(k^2-12)y+(2k-3) (\frac{k+3}{k-3})=3k-2, \ k\neq 3, \ k\neq 2 \)


Se agrupa y los polinomios \( y, \ 1 \) son LI y se utiliza el mismo razonamiento que te he explicado.

Saludos

07 Septiembre, 2020, 08:56 pm
Respuesta #9

nktclau

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Hola Delmar MUCHAS GRACIAS por la GRAN AYUDA!!!


Se agrupa y los polinomios \( y, \ 1 \) son LI y se utiliza el mismo razonamiento que te he explicado.

Un genio!! yo me hice nudos!!  :o :banghead: :banghead: :banghead: :banghead:

muchisimas gracias!!! :aplauso: :aplauso: :aplauso:

07 Septiembre, 2020, 11:33 pm
Respuesta #10

robinlambada

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Pregunta
De todas formas ¿llegas a la misma conclusión que yo? ¿es decir la proposición: Sea \(  L=\pi_1∩\pi_4 \)  existen \( k∈ \mathbb{R} \) tal que \( L⊆\pi_3 \).  es falsa?

Muchas Gracias de nuevo.
Saludos
Ahora he podido mirarlo y veo que ya te ha respondido delmar, no he revisado los cálculos, pero tu razonamiento es  correcto, delmar lo ha verificado detalladamente, por tanto la probabilidad de que os halláis equivocado es despreciable.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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