Autor Tema: Círculo unitario y puntos coordenadas racionales

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05 Septiembre, 2020, 11:14 am
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manuel_david

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Hola a todos,

Si tengo un círculo unitario (de radio 1) y centrado en el origen, y hago pasar secante al mismo una recta de pendiente racional, cuyo primer punto de intersección con la circunferencia tiene coordenadas racionales, se da la circunstancia de que el segundo punto de corte... También tiene ambas coordenadas racionales.

Lo que quisiera saber es si, más allá de hacer un sistema de ecuaciones de recta y circunferencia, donde se aprecia que tanto x como y de esa segundo punto de corte dependen de la pendiente m (que ya dijimos que era racional como premisa), y por lo tanto son racionales... Pues si más allá de esa "demostración", puede razonarse a priori que ese segundo punto también va a tener sí o sí coordenadas racionales.

Quería comentaros esta duda a la que llevo días dando vueltas, pero que no consigo "cerrar".

Gracias de antemano, y avisadme si me he explicado mal y mi duda no se entiende.

05 Septiembre, 2020, 11:50 am
Respuesta #1

geómetracat

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No sé exactamente qué tipo de demostración buscas.
Puede razonarse a priori que va a salir racional sin necesidad de resolver explícitamente el sistema, de la siguiente manera. Si la recta contiene un punto con coordenadas racionales y tiene pendiente racional, es fácil ver que su ecuación es \( y=mx+a \) con \( m,a \in \Bbb Q \). Ahora, si sustituyes esta \( y \) en la ecuación de la circunferencia, te queda una ecuación de segundo grado para \( x \) con coeficientes racionales, de la que sabes que tiene una solución racional. Pero al ser de segundo grado, si tiene una solución racional la otra solución es necesariamente racional (es decir, tienes un polinomio de \( \Bbb Q[x] \) de grado \( 2 \) con una raíz racional, luego este polinomio factoriza en \( \Bbb Q[x] \)). Pero si la coordenada \( x \) de la segunda solución es racional, su coordenada \( y \) también, pues \( y=mx+a \) con \( m,a \in \Bbb Q \).

De hecho, este argumento se puede generalizar directamente al caso de la intersección de una recta con una cónica cualquiera cuya ecuación tenga coeficientes racionales.

Pero no sé si era esto lo que buscabas o algo más conceptual o que usara otro tipo de maquinaria.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2020, 12:38 pm
Respuesta #2

manuel_david

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Hay una cosa que quisiera aclarar e tu explicación (y disculpa mi bajísimo nivel):

¿Cómo sabemos que en una ecuación de segundo grado, si una raíz es racional, la otra forzosamente también lo es?

¿Es en el caso de que todos sus coeficientes sean racionales? Porque yo puedo construir fácilmente una ecuación de segundo grado que tenga una raíz racional y otra irracional (Basta multiplicar dos binomios de primer grado, uno de término independiente racional y otro irracional).

De modo que entiendo que la segunda raíz es racional si y sólo si todos los coeficientes son racionales (ya me corregirás si he dicho alguna tontería, algo habitual en mí).



Por otro lado, y una vez aclarada esa laguna, creo que no es eso lo que busco (porque seguiría sin ser una explicación "intuitiva").

Busco algo de carácter más analítico o geométrico... No sabría explicar...


05 Septiembre, 2020, 12:51 pm
Respuesta #3

manuel_david

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A ver, es que realmente está duda procede de un libro de Teoría de Números... Concretamente el del profesor Silverman, "A Friendly Introducction to Number Theory".

(Por cierto, libro que recomiendo).

Y a la hora de abordar las ternas pitagóricas primitivas, una de las maneras que emplea (en su capítulo 3) es mediante la intersección de la circunferencia unidad centrada en el origen y una recta de pendiente racional cuyo "primer" punto de intersección ya sea de coordenadas racionales...

Y bueno, lo que me desconcierta es que va a tiro fijo, como "dando por sabido", como dando a entender que es obvio que el segundo par de coordenadas van a ser también racionales (¿ Qué van a ser si no?, parece decir).

Y claro, yo busco un razonamiento "lógico",  "intuitivo", que me permita predecir que esto va a ser así, más allá de una simple demostración (bien resolviendo el sistema de ecuaciones o bien sustituyendo la y para llegar a una ecuación de segundo grado).

No busco demostrar algo que previamente se sabe... Sino "ver", "predecir", para que tenga un "sentido" atacar las ternas pitagóricas desde ese enfoque (muy elegante por cierto, y que no viene en el manual oficial de Matemáticas Discretas del grado en la UNED... Desconozco si en otras universidades sí lo dan).

Bueno, que me enrollo. Espero que al menos se haya entendido lo que busco...

05 Septiembre, 2020, 12:56 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Hay una cosa que quisiera aclarar e tu explicación (y disculpa mi bajísimo nivel):

¿Cómo sabemos que en una ecuación de segundo grado, si una raíz es racional, la otra forzosamente también lo es?

¿Es en el caso de que todos sus coeficientes sean racionales? Porque yo puedo construir fácilmente una ecuación de segundo grado que tenga una raíz racional y otra irracional (Basta multiplicar dos binomios de primer grado, uno de término independiente racional y otro irracional).

De modo que entiendo que la segunda raíz es racional si y sólo si todos los coeficientes son racionales (ya me corregirás si he dicho alguna tontería, algo habitual en mí).

Sí claro, suponiendo que los coeficientes son todos racionales. No has dicho ninguna tontería. La demostración es sencilla: siempre puedes factorizarlo en producto de dos polinomios de grado uno (quizás con raíces reales o complejas) \( (x-r)(x-a) = x^2 - (r+a)x+ra \). De ahí se ve que si \( r \) es racional y tiene los coeficientes racionales (luego \( ra \) es racional), \( a = ra/r \) debe ser racional por ser cociente de dos números racionales.


Citar
Por otro lado, y una vez aclarada esa laguna, creo que no es eso lo que busco (porque seguiría sin ser una explicación "intuitiva").

Busco algo de carácter más analítico o geométrico... No sabría explicar...

Ya, me lo imaginaba. Hombre, es bastante analítico, creo yo. Ahora mismo no se me ocurre otra cosa, si se me ocurre la pongo.

Añadido:
A ver, es que realmente está duda procede de un libro de Teoría de Números... Concretamente el del profesor Silverman, "A Friendly Introducction to Number Theory".

(Por cierto, libro que recomiendo).

Y a la hora de abordar las ternas pitagóricas primitivas, una de las maneras que emplea (en su capítulo 3) es mediante la intersección de la circunferencia unidad centrada en el origen y una recta de pendiente racional cuyo "primer" punto de intersección ya sea de coordenadas racionales...

Y bueno, lo que me desconcierta es que va a tiro fijo, como "dando por sabido", como dando a entender que es obvio que el segundo par de coordenadas van a ser también racionales (¿ Qué van a ser si no?, parece decir).

Y claro, yo busco un razonamiento "lógico",  "intuitivo", que me permita predecir que esto va a ser así, más allá de una simple demostración (bien resolviendo el sistema de ecuaciones o bien sustituyendo la y para llegar a una ecuación de segundo grado).

No busco demostrar algo que previamente se sabe... Sino "ver", "predecir", para que tenga un "sentido" atacar las ternas pitagóricas desde ese enfoque (muy elegante por cierto, y que no viene en el manual oficial de Matemáticas Discretas del grado en la UNED... Desconozco si en otras universidades sí lo dan).

Bueno, que me enrollo. Espero que al menos se haya entendido lo que busco...

Hombre, yo siempre que he visto ese enfoque de las ternas pitagóricas lo he visto hecho como apuntabas al principio. De hecho, para obtener la fórmula de las ternas pitagóricas debes resolver explícitamente el sistema, y en el proceso ya se ve que el punto de intersección tiene coordenadas racionales. Sinceramente, dudo bastante que haya un enfoque en el que se vea esto de manera inmediata (aunque quién sabe, igual me equivoco y sí lo hay).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2020, 02:08 pm
Respuesta #5

manuel_david

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Bueno, entonces creo que sería más pedagógico para el alumno (al menos para mí) que se detuviera  un poco en el libro para aclarar un poco eso, que va a salir un segundo punto de coordenadas racionales también...

Porque darlo a entender como algo "obvio" que no necesita reflexión alguna... Pues a mí personalmente me desorienta y me genera inseguridad.

05 Septiembre, 2020, 03:03 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Pues he mirado el capítulo del libro (cuarta edición, creo que es la más reciente) y yo no veo por ninguna parte que el autor afirme o suponga que es obvio que la intersección de una recta con pendiente unidad que pasa por un punto racional de otro punto racional.

Más bien al contrario, te demuestra que si tomas una recta que pasa por \( (-1,0) \) y tiene pendiente racional, el otro punto de corte es racional (resuelve el sistema y al final nota que es racional).

No sé, si me puedes indicar dónde afirma algo así (aunque sea otra edición del libro), te lo agradecería.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2020, 03:34 pm
Respuesta #7

manuel_david

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No he dicho que lo afirme (si es así, pido disculpas), sino que da a entender.
Pues utiliza esa herramienta como si supiera a priori) que van a resultar coordenadas racionales.

Al menos esa es la interpretación que yo hago del texto...

05 Septiembre, 2020, 04:20 pm
Respuesta #8

manuel_david

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Deja a x e y en función de la pendiente m, que es racional como premisa... Eso sería la demostración de que en efecto son coordenadas racionales.

Pero lo enfoca como si ya tuviéramos que saber que se llega a eso, que lo importante son las relaciones que se deducen después.

Probablemente el problema es una lectura equivocada que hago del enfoque del libro.

Mis disculpas

05 Septiembre, 2020, 07:25 pm
Respuesta #9

geómetracat

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Ah, de acuerdo. Pensaba que decías que el autor afirma en algún momento que lo que preguntabas es obvio, pero tienes razón en que no has dicho eso en ningún momento. Creo que buscas algo que no hay. Es decir, es obvio que el autor sabe que eso va a funcionar (si no fuera así, no lo pondría en su libro), de hecho es una idea muy usada para obtener puntos racionales, incluso en contextos bastante más complicados que este. Pero el argumento para que eso funcione, por lo menos sin usar maquinaria sofisticada, es el que apuntas al principio y el que se expone en el libro. Yo por lo menos no conozco ni he visto nunca ningún argumento más sencillo que el que te puse para que la intersección dé otro punto racional, y he visto esto expuesto en unos cuantos sitios.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2020, 08:42 pm
Respuesta #10

manuel_david

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¡Muchísimas gracias! Has entendido perfectamente por dónde iba mi duda.

Haré una aclaratpria en los apuntes que estoy haciéndome.

Gracias de corazón