Autor Tema: Intersección de Subgrupos.

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05 Septiembre, 2020, 08:51 am
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lcdeoro

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Sean \( H,K \) subgrupos de un grupo \( G \). Dados \( a,b\in{G} \). Demostrar que \( Ha\cap{Kb}=\emptyset \) ó \( Ha\cap{Kb}=(H\cap{K})c \) para algún \( c\in{G} \).

Alguna idea para empezar esta demostración.

05 Septiembre, 2020, 11:14 am
Respuesta #1

geómetracat

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Supón que \( x \in Ha \cap Kb \) (intersección no vacía). Hay que ver que existe un \( c \) tal que \( Ha \cap Kb = (H \cap K)c \). Lo que tienes que ver es que \( Ha=Hx, Kb=Kx \) y luego probar que \( Hx \cap Kx = (H \cap K)x \). Mira a ver si con estas indicaciones te sale.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2020, 05:41 pm
Respuesta #2

lcdeoro

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Se Me ocurre lo siguiente:  Si \( x\in{Ha\cap{Kb}}\Longrightarrow{\exists{h,k}} \) tal que \( x=ha  \wedge  x=kb\Longrightarrow{a=h^{-1}x} \wedge  b=h^{-1}x \) y Como \( h^{-1}\in{H}  \wedge  k^{-1}\in{K} \) entonces \( Ha\cap{Kb}=Hx\cap{Kx} \). 

Verifiquemos que \( Hx\cap{Kx}=(H\cap{K)x} \).   Sea \( p\in{(H\cap{K})x} \) entonces existen \( h,k \) tales que \( h=k \) luego, \( p=(h\cap{k})x=hx\cap{kx}\Longrightarrow{p\in{Hx\cap{Kx}}} \).

Ahora, sea \( p\in{Hx\cap{Kx}\Longrightarrow{\exists{x,k}}} \) tal que \( p=hx\cap{kx}=(h\cap{k})x \), luego, \( p\in{(H\cap{K)x}} \)

05 Septiembre, 2020, 07:14 pm
Respuesta #3

geómetracat

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La idea está bien, pero la notación es extraña. No uses nunca \( h \cap k \) para referirte a un elemento de \( H \cap K \), usa una letra solo como \( y \in H \cap K \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2020, 07:37 pm
Respuesta #4

lcdeoro

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Si \( x\in{Ha\cap{Kb}}\Longrightarrow{\exists{h,k}} \) tal que \( x=ha  \wedge  x=kb\Longrightarrow{a=h^{-1}x} \wedge  b=k^{-1}x \) y Como \( h^{-1}\in{H}  \wedge  k^{-1}\in{K} \) entonces \( Ha\cap{Kb}=Hx\cap{Kx} \). 

Verifiquemos que \( Hx\cap{Kx}=(H\cap{K)x} \).   Sea \( p\in{(H\cap{K})x} \) entonces existe \( y\in{H\cap{K}} \) luego, \( p=yx \) Luego, tenemos que \( yx\in{Hx}  \wedge yx\in{Kx} \) y así \( p\in{Hx\cap{Kx}} \)

Ahora, sea \( p\in{Hx\cap{Kx}\Longrightarrow{\exists{y}}} \) tal que \( p=yx \) y \( yx\in{Hx\cap{Kx}}\Longrightarrow{yx\in{Hx}} \wedge yx\in{Kx} \) luego, \( y\in{H} \wedge y\in{K}\Longrightarrow{}y\in{(H\cap{K)}} \) y así \( p\in{(H\cap{K})x} \)

Corregido.

05 Septiembre, 2020, 07:40 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Ahora lo veo bien, aunque creo que tienes una errata: en el lado derecho de la última implicación debería ser \( y \in H \cap K \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)