Autor Tema: Isomorfismo de grupos cíclicos.

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05 Septiembre, 2020, 08:13 am
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lcdeoro

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Si \( h \) y \( g \) son elementos de un grupo \( G \). Demostrar que \( \left<{gh}\right>\cong \left<{hg}\right> \)

Yo sé que ambos grupos tienen el mismo el orden, pero el problema que tengo es armar la aplicación.

podría ser \( f(gh)=hg \) pero la verdad no estoy muy convencido.

05 Septiembre, 2020, 09:13 am
Respuesta #1

geómetracat

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Si sabes que tienen el mismo orden ya estás, porque dos grupos cíclicos con el mismo orden son isomorfos. El isomorfismo es el que dices, cualquier homomorfismo que mande un generador del primer grupo a un generador del segundo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2020, 09:54 am
Respuesta #2

lcdeoro

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Pero es necesario demostrar que tienen el mismo orden? O basta con decirlo?.

05 Septiembre, 2020, 10:18 am
Respuesta #3

geómetracat

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Es necesario demostrarlo, claro (a no ser que te lo hayan demostrado ya). Cuando en el mensaje original ponías "yo sé que ambos grupos tienen el mismo orden" pensaba que te referías a que tenías una demostración de eso.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2020, 05:00 pm
Respuesta #4

lcdeoro

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Bueno, la idea que tengo para demostrar que ambos subgrupos tienen el mismo orden es la siguiente:

Supongamos que \( o(\left<{gh}\right>)=n \) y que \( o(\left<{hg}\right>)=m \) entonces tenemos que

\( \underbrace{ghghgh \ldots gh}_{n-veces}=e \) entonces \( \underbrace{hghg\ldots hg}_{n-1 veces}=g^{-1}h^{-1}=(hg)^{-1} \)

y que \( \underbrace{hghghg\ldots hg}_{m-veces}=e\Longrightarrow{}\underbrace{hghg\ldots hg}_{m-1 veces}=(hg)^{-1} \)   

Por tanto, \( \underbrace{hghg\ldots hg}_{n-1 veces}=\underbrace{hghg\ldots hg}_{m-1 veces} \) y así, \( n-1=m-1\Longrightarrow{n=m} \)

y así compruebo que tienen el mismo orden.

05 Septiembre, 2020, 06:56 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Sí, está bien, También puedes observar la identidad \( (gh)^n = g(hg)^{n-1}h \), de forma que si \( n \) es el orden de \( hg \), entonces \( (gh)^{n+1} = g(hg)^nh = gh \), luego \( (gh)^n = 1 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)