Autor Tema: Intervalos

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04 Septiembre, 2020, 02:37 pm
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Quema

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Si \( w \in [0,1] \) es continua, cóncava-convexa (que corta el eje diagonal \( w(x)=x \)  desde arriba), diferenciable, creciente con \( w(0)=0,w(1)=1. \)

Defino dos regiones,
i) \( [1-b_m,b_M] \) tal que \( w(b_M)=2w(b_M/2) \) y \( w^*(b_m)=2w^*(b_m/2), \) siendo \( w^*(x)=1-w(1-x) \)

ii) La otra es la región determinada por el intervalo \( [p_1,p_2] \) tal que \( w'(p_1)=w'(p_2)=1 \) y \( w'(p)<1 \) para todo \( p\in (p_1,p_2). \)

Quiero saber si \( [p_1,p_2]\subseteq{}[1-b_m,b_M] \)   

15 Septiembre, 2020, 01:19 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Si \( w \in [0,1] \) es continua, cóncava-convexa (que corta el eje diagonal \( w(x)=x \)  desde arriba), diferenciable, creciente con \( w(0)=0,w(1)=1. \)

Defino dos regiones,
i) \( [1-b_m,b_M] \) tal que \( w(b_M)=2w(b_M/2) \) y \( w^*(b_m)=2w^*(b_m/2), \) siendo \( w^*(x)=1-w(1-x) \)

ii) La otra es la región determinada por el intervalo \( [p_1,p_2] \) tal que \( w'(p_1)=w'(p_2)=1 \) y \( w'(p)<1 \) para todo \( p\in (p_1,p_2). \)

Quiero saber si \( [p_1,p_2]\subseteq{}[1-b_m,b_M] \)

Rescato el ejemplo de función cóncava-convexa diferenciable creciente que pues aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=106506.msg420024#msg420024

\( f(x)=\begin{cases} \dfrac{-h(c-x)^2}{c^2}+h & \text{si}& 0\leq x\leq c\\\dfrac{(1-h)(x-c)^2}{(1-c)^2}+h& \text{si}& c<x\leq 1\end{cases} \)

Que tiene un punto de inflexión en \( (c,h) \) que podemos variar.

El el gráfico siguiente represento:

- En rojo la función.
- En azul \( f(x)-2f(x/2) \). De manera que el corte con el eje \( OX \) me da el punto \( (b,0) \).
- En verde \( f'(x)-1 \), de manera que el corte con el eje \( OX \) me da el punto \( (p_2,0) \).

 Entonces por ejemplo para \( c=0.2 \) y \( h=0.15 \) vemos que \( p_2>b \).


Saludos.

15 Septiembre, 2020, 03:04 pm
Respuesta #2

Quema

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Y la cota inferior?

15 Septiembre, 2020, 05:01 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Y la cota inferior?

En ese ejemplo, para el rango de \( h,c \) que estoy manejando, no hay valores de \( b_m \) distintos del cero que cumplan \( w^*(b_m)=2w^*(b_m/2) \).

Saludos.

15 Septiembre, 2020, 05:14 pm
Respuesta #4

Quema

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Es decir, \( w^*(x) \) es subaditiva en \( [0,1] \)?


15 Septiembre, 2020, 05:21 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Es decir, \( w^*(x) \) es subaditiva en \( [0,1] \)?

Si (no para cualquier valor de \( h \) y \( c \)), pero si en los valores que estoy analizando.

Saludos.