Autor Tema: Hallar una base para el núcleo de la Transformada

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03 Septiembre, 2020, 09:19 pm
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lcdeoro

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Sea \( M_2(\mathbb{R}) \) el espacio vectorial sobre los reales, formado por las matrices de tamaño 2x2 con entradas
reales. Considere la matriz \( B=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{pmatrix} \) y la transformación \( T:M_2(\mathbb{R})\longrightarrow{M_2(\mathbb{R})} \) dada por \( T(A)=AB-BA \).

Halle una base para el núcleo de \( T \)

Solución: En el espacio \( M_2(\mathbb{R}) \) usando la base canónica \( \epsilon=(E_1,E_2,E_3,E_4) \)

\( E_1=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} \)   \( E_2=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{pmatrix} \)   \( E_3=\begin{pmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{pmatrix} \)   \( E_3=\begin{pmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} \).

Calculamos la matriz asociada al operador \( T \) respecto a la base \( \epsilon \)  (omitiendo los cálculos que hice que no sé si estén bien tendríamos)

\( T_\epsilon=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{-1}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{-1}\\{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\end{bmatrix} \)

Sumandole a la fila 4 la fila 1 transformamos \( T_\epsilon \) en una matriz pseudoescalonada reducida y tendría:

\( T_\epsilon=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{-1}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{-1}\\{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Sabiendo que la solución general del sistema de ecuaciones lineales es \( T_\epsilon x=0_4 \).

Y ahí he quedado no sé cómo despejar \( x \).

03 Septiembre, 2020, 09:44 pm
Respuesta #1

Masacroso

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El núcleo de una función lineal son todos aquellos vectores que hacen cero la función, por tanto \( A\in \ker(T)\Leftrightarrow AB=BA \), es decir, si la matriz \( A \) conmuta con la matriz \( B \).

La ecuación \( AB=BA \) se reduce a un sistema lineal de cuatro ecuaciones con cuatro (o menos) incógnitas, y creo que de ahí has hecho los cálculos para hallar \( T_\epsilon  \). Si tu matriz representa la ecuación \( T_\epsilon (a_1,a_2,a_3,a_4)^\top =(0,0,0,0)^\top  \) donde \( A=\left(\begin{smallmatrix}a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4\end{smallmatrix}\right) \) entonces la solución es \( a_3=0 \) y \( a_1=a_4 \), es decir, el núcleo de \( T \) está compuesto por matrices del tipo \( \left(\begin{smallmatrix}x & y\\ 0 & x\end{smallmatrix}\right) \) (una rápida comprobación demuestra que efectivamente las matrices con esa forma conmutan con \( B \)), y por tanto una base de la misma es \( \left(\begin{smallmatrix}1 & 0\\0&1\end{smallmatrix}\right),\, \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\0&0\end{smallmatrix}\right) \).

03 Septiembre, 2020, 10:14 pm
Respuesta #2

lcdeoro

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Ok, ahora si logré resolver el ejercicio.

Solo tengo una duda que quiero que me aclare para ver si lo que pienso esta bien.

Por qué dice que \( a_1=a_4 \)

03 Septiembre, 2020, 10:26 pm
Respuesta #3

delmar

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Hola

Toma esto como un complemento.

En efecto la solución del sistema de ecuaciones \( T_\epsilon \ x=0_4 \) son las componentes de los elementos del núcleo de T; pero ojo me refiero a la primera ecuación, a la que esta arriba, la que esta abajo ya esta manipulada y eso en general implica cambios en el vector independiente, que en este caso particular (vector nulo ) no cambia. Esa ecuación implica un sistema de ecuaciones, las muestro :

\( -x_3=0 \)

\( x_1-x_4=0 \)

\( x_3=0 \)

Se llega a \( x_1=x_4, \ x_3=0 \)

En conclusión \( Ker(T)=\left\{{\begin{pmatrix}{x_1}&{x_2}\\{x_3}&{x_4}\end{pmatrix}} \ / \ x_1=x_4, \ x_3=0\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}{x_1}&{x_2}\\{0}&{x_1}\end{pmatrix}}\right\}=\left\{{x_1\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}}+x_2\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{pmatrix}\right\} \)

Luego el núcleo son todas las combinaciones lineales de las dos matrices mostradas ¿Son linealmente independientes estas matrices? En caso afirmativo son una base, en caso contrario no, saca tus conclusiones.

Saludos

03 Septiembre, 2020, 10:44 pm
Respuesta #4

lcdeoro

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Ok, Gracias ahora si me quedo todo claro. Y Claro ya probé que son linealmente independientes.