Autor Tema: Automorfismos y Matrices

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03 Septiembre, 2020, 06:45 pm
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conchivgr

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Hola.

Estoy estudiando los automorfimos en la esfera de Riemann y los grupos "especiales" que salen de varios homorfismos.

El principio lo entiendo perfectamente, es casi al final donde no logro entender

Los automorfismos de la esfera de Riemann $$Aut(\sum_{})$$ consisten en las funciones $$T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ tales que $$a,b,c,d\in{\mathbb{C}}$$ y $$ad-bc\neq0$$.

Sea $$GL(2,\mathbb{C})$$ el Grupo General Lineal consistente en las matrices complejas $$2x2$$, $$M=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}$$ tales que $$det(M)\neq0$$.

Sea ahora el homomorfismo $$\theta:GL(2,\mathbb{C})\longrightarrow{Aut(\sum_{})}$$. El kernel $$K$$ de este homomorfismo son las matrices $$M=\begin{pmatrix}{\lambda}&{0}\\{0}&{\lambda}\end{pmatrix}, \lambda \neq 0$$.

Por lo tanto, dos matrices $$M,N\in{GL(2,\mathbb{C})}$$ representan el mismo automorfismo si y solo si $$M=\lambda M$$ para algun $$\lambda\neq0$$.

Si ahora aplicamos el Primer Teorema de Ismorfismo, tenemos que $$Aut(\sum_{})\cong GL(2\mathbb{C})/K$$. El grupo $$GL(2,\mathbb{C})/K$$ se denomina Grupo General Proyectivo Lineal, $$PGL(2,\mathbb{C})$$.

Constrimos ahora el homomorfismo $$det:GL(2,\mathbb{C})\longrightarrow{\mathbb{C}-{0}}$$, el determinante. Ahora, el kernel de este homomorfismo son las matrices $$M\in{GL(2,\mathbb{C})}$$ tales que $$det(M)=1$$, y se denomina Grupo Especial Lineal $$SL(2,\mathbb{C})$$.

Aplicando de nuevo el primer teorema de isomorfismo, tenemos que $$GL(2,\mathbb{C})/SL(2,\mathbb{C})\cong \mathbb{C}-{0}$$.

(1) Este cociente no le entiendo, no se como se identifican dos matrices. El primer cociente le entiendo, pero este no.

Ahora, copio literalmente lo que pone el libro, que es lo que ya me pierdo.

(2) "Si $$N\in{GL(2,\mathbb{C})}$$, Entonces podemos escribir $$N= \lambda M$$, donde $$\lambda^2+det(N)$$ y $$M\in{SL(2,\mathbb{C})}$$". No entiendo por que el determinante de $$N$$ es lambda al cuadrado ni por que $$M$$ pertenece a $$SL(2,\mathbb{C})$$.

(3) "De forma equivalente, $$\theta$$ mapea $$SL(2,\mathbb{C})$$ en $$Aut(\sum_{})$$. Por lo tanto, $$PGL(2,\mathbb{C})$$ coincide con el Grupo Especial Proyectivo Lineal $$PSL(2,\mathbb{C})$$, que es la imagen  de $$SL(2,\mathbb{C})$$ en el grupo cociente $$PGL(2,\mathbb{C})/K$$". No he entendido nada de esto ultimo.

Con entender el cociente de (1) (2) me vale, a la ultima frase le puedo dar luego una vuelta yo.

Besos  :-* :-*

03 Septiembre, 2020, 07:30 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Aplicando de nuevo el primer teorema de isomorfismo, tenemos que $$GL(2,\mathbb{C})/SL(2,\mathbb{C})\cong \mathbb{C}-{0}$$.

(1) Este cociente no le entiendo, no se como se identifican dos matrices. El primer cociente le entiendo, pero este no.

\( SL(2, \Bbb C) \) es un subgrupo normal de \( GL(2, \Bbb C) \), y \( GL(2, \Bbb C)/SL(2, \Bbb C) \) es el grupo cociente. Es decir, los elementos de \( GL(2, \Bbb C)/SL(2, \Bbb C) \) son clases de equivalencia de matrices de la forma \( [M] = \{ {\color{red} MA} \mid A \in SL(2, \Bbb C)\} \). Es decir, identificas dos matrices \( \color{red} M,N \) de \( GL(2, \Bbb C) \) si \( \color{red} MN^{-1} \in SL(2, \Bbb C) \).

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Ahora, copio literalmente lo que pone el libro, que es lo que ya me pierdo.

(2) "Si $$N\in{GL(2,\mathbb{C})}$$, Entonces podemos escribir $$N= \lambda M$$, donde $$\lambda^2+det(N)$$ y $$M\in{SL(2,\mathbb{C})}$$". No entiendo por que el determinante de $$N$$ es lambda al cuadrado ni por que $$M$$ pertenece a $$SL(2,\mathbb{C})$$.
Supongo que es \( \lambda^2 = det(N) \). Si \( N \in GL(2, \Bbb C) \), define \( \lambda^2 = det(N) \) (toma como \( \lambda \) cualquiera de las dos raíces cuadradas). Ahora, si defines \( M = \frac{1}{\lambda}N \), tendrás que \( N = \lambda M \) y \( \lambda^2 = det(N) = \lambda^2 det(M) \), de donde \( det(M)=1 \), es decir, \( M \in SL(2, \Bbb C) \).

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(3) "De forma equivalente, $$\theta$$ mapea $$SL(2,\mathbb{C})$$ en $$Aut(\sum_{})$$. Por lo tanto, $$PGL(2,\mathbb{C})$$ coincide con el Grupo Especial Proyectivo Lineal $$PSL(2,\mathbb{C})$$, que es la imagen  de $$SL(2,\mathbb{C})$$ en el grupo cociente $$PGL(2,\mathbb{C})/K$$". No he entendido nada de esto ultimo.
Aquí el final debería ser \( PGL(2, \Bbb C) \) o bien \( GL(2, \Bbb C)/K \).
Esto lo que te dice es que la imagen del subgrupo \( SL(2, \Bbb C) \) por \( \theta \) es todo \( Aut(\Sigma) \) (porque si \( N \in GL(2, \Bbb C) \) y \( N = \lambda M \) con \( M \in SL(2, \Bbb C) \) como antes, tienes que \( \theta(M)=\theta(N) \)), y por tanto, tienes que, del primer teorema de isomorfía aplicado a la restricción de \( \theta \) a \( SL(2, \Bbb C) \) que \( PSL(2, \Bbb C) := SL(2, \Bbb C)/(K \cap SL(2, \Bbb C)) \cong Aut(\Sigma) \). Y por otro lado tenías \( PGL(2, \Bbb C) \cong Aut(\Sigma) \), de donde \( PGL(2, \Bbb C) \cong PSL(2, \Bbb C) \). Por cierto, que \( K \cap SL(2, \Bbb C) \) es el subgrupo (isomorfo a \( \Bbb Z/2 \)) formado por las matrices \( I \) y \( -I \). Por tanto, \( PSL(2, \Bbb C) = SL(2, \Bbb C)/\{I,-I\} \).

Corregido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Septiembre, 2020, 05:34 pm
Respuesta #2

conchivgr

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Hola.

Muchas gracias. 

Cuando dices que identificamos dos matrices  si su resta pertenece  a $$GL(2,\mathbb{C})$$, supongo que te refieres a la composición de matrices,  que es la operación del grupo,  no a la resta.

Gracias de nuevo.

Besos.   :-* :-*

05 Septiembre, 2020, 06:32 pm
Respuesta #3

conchivgr

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Hola.



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Supongo que es \( \lambda^2 = det(N) \). Si \( N \in GL(2, \Bbb C) \), define \( \lambda^2 = det(N) \) (toma como \( \lambda \) cualquiera de las dos raíces cuadradas). Ahora, si defines \( M = \frac{1}{\lambda}N \), tendrás que \( N = \lambda M \) y \( \lambda^2 = det(N) = \lambda^2 det(M) \), de donde \( det(M)=1 \), es decir, \( M \in SL(2, \Bbb C) \).

Creo que aqui tambien hay una errata, no?. Si definimos \( \lambda^2 = det(N) \) y \( M = \frac{1}{\lambda}N \), entonces  \( N = \lambda M \) y \( \lambda^2=det(N)=\lambda det(M) \), de donde  el determinante de $$M$$ no seria 1.

Besos.  :-* :-*

05 Septiembre, 2020, 06:51 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Cuando dices que identificamos dos matrices  si su resta pertenece  a $$GL(2,\mathbb{C})$$, supongo que te refieres a la composición de matrices,  que es la operación del grupo,  no a la resta.

Tienes toda la razón, no sé en qué estaba pensando. En vez de resta es el producto por la inversa. Ahora lo corrijo.


Creo que aqui tambien hay una errata, no?. Si definimos \( \lambda^2 = det(N) \) y \( M = \frac{1}{\lambda}N \), entonces  \( N = \lambda M \) y \( \lambda^2=det(N)=\lambda det(M) \), de donde  el determinante de $$M$$ no seria 1.

No, esto estaba bien. Si \( N= \lambda M \) y \( M \) es una matriz \( 2 \times 2 \), tienes que \( det(N)=\lambda^2 det(M) \). Recuerda que el determinante no es lineal, sino multilineal. En general, si \( M \) es una matriz \( n \times n \), tienes que \( det(\lambda M)=\lambda^n det(M) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)