Autor Tema: Velocidad de llenado de un depósito en forma de cono invertido.

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03 Septiembre, 2020, 04:07 pm
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Buscón

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Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros?


En decímetros.


03 Septiembre, 2020, 04:50 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola:

Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros?


En decímetros.


Una idea, se hace de forma parecida al globo de gas.

Ten encuenta que: $$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dh}\dfrac{dh}{dt}=9$$ y que por Tales $$\dfrac{r}{h}=\dfrac{5}{10}$$

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

03 Septiembre, 2020, 05:21 pm
Respuesta #2

Buscón

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Si gracias, pero ahora con notación de Lagrange.

Piden la derivada de la altura con respecto al tiempo. La altura es función del volumen y a su vez este es función del tiempo.

Se tiene que    \( \tg(\theta)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow{r(t)=z(t)\cdot{\tg(\theta)}=\dfrac{z(t)}{2}} \),    donde    \( r(t) \)    es el radio del círculo que dibuja la superficie del líquido en el instante    \( t \).


El volumen en un instante    \( t \)    es    \( V(t)=\dfrac{\pi\cdot{}\big(r(t)\big)^2\cdot{}z(t)}{3}=\dfrac{\pi\cdot{}\big(z(t)\big)^2\cdot{z(t)}}{12}=\dfrac{\pi}{12}\cdot{}\big(z(t)\big)^3 \)    y su derivada    \( V'(t)=\dfrac{\pi}{4}\cdot{\big(z(t)\big)^2\cdot{}z'(t)} \)    será su ritmo de cambio en ese instante.   


Como nos dicen que el ritmo de cambio del volumen en el instante    \( t_0 \)    en el que la altura es    \( z=40\;dm \)   es de    \( 9\,dm^3/s \),   será    \( 9=V'(t_0)=\dfrac{\pi}{4}\cdot{40^2\cdot{}z'(t_0)} \),    de donde

\( z'(t_0)=\dfrac{9\cdot{4}}{\pi\cdot{40^2}}=\dfrac{36}{40^2\pi}=0.00716197 \) dm/s

Saludos.

03 Septiembre, 2020, 11:58 pm
Respuesta #3

robinlambada

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Si gracias, pero ahora con notación de Lagrange.

Piden la derivada de la altura con respecto al tiempo. La altura es función del volumen y a su vez este es función del tiempo.

Se tiene que    \( \tg(\theta)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow{r(t)=z(t)\cdot{\tg(\theta)}=\dfrac{z(t)}{2}} \),    donde    \( r(t) \)    es el radio del círculo que dibuja la superficie del líquido en el instante    \( t \).


El volumen en un instante    \( t \)    es    \( V(t)=\dfrac{\pi\cdot{}\big(r(t)\big)^2\cdot{}z(t)}{3}=\dfrac{\pi\cdot{}\big(z(t)\big)^2\cdot{z(t)}}{12}=\dfrac{\pi}{12}\cdot{}\big(z(t)\big)^3 \)    y su derivada    \( V'(t)=\dfrac{\pi}{4}\cdot{\big(z(t)\big)^2\cdot{}z'(t)} \)    será su ritmo de cambio en ese instante.   


Como nos dicen que el ritmo de cambio del volumen en el instante    \( t_0 \)    en el que la altura es    \( z=40\;dm \)   es de    \( 9\,dm^3/s \),   será    \( 9=V'(t_0)=\dfrac{\pi}{4}\cdot{40^2\cdot{}z'(t_0)} \),    de donde

\( z'(t_0)=\dfrac{9\cdot{4}}{\pi\cdot{40^2}}=\dfrac{36}{40^2\pi}=0.00716197 \) dm/s

Saludos.
Todo correcto, muy bien.
Saludos.
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04 Septiembre, 2020, 02:34 am
Respuesta #4

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
la profundidad se mide desde el vértice del cono hacia arriba, luego z=60 dm  y r=30 dm en el punto a evaluar....


El dibujo no se si acompaña al enunciado o es una interpretaciòn errònea de esas palabras, pues lo contradice.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

04 Septiembre, 2020, 09:26 am
Respuesta #5

robinlambada

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Hola.
la profundidad se mide desde el vértice del cono hacia arriba, luego z=60 dm  y r=30 dm en el punto a evaluar....


El dibujo no se si acompaña al enunciado o es una interpretaciòn errònea de esas palabras, pues lo contradice.
Cierto, no me había fijado en que la altura es 60 dm, por tanto z=60, en vez de 40 dm.

El dibujo no creo que esté mal, lo que ocurre es que no es muy claro, 50 dm se refiere al radio de la tapa y 60 dm al nivel de liquido ( a la altura que alcanza desde el vértice , es decir z) nunca la altura del deposito que es 100 dm.

Saludos.
P.D. El 60 debería estar colocado más abajo a la altura del nivel o poner abajo z=60, para evitar controversias, pero nunca la altura del cono de agua es 100-60=40, eso es la altura del tronco de cono vacío.
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04 Septiembre, 2020, 12:11 pm
Respuesta #6

Buscón

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la profundidad se mide desde el vértice del cono hacia arriba, luego z=60 dm  y r=30 dm en el punto a evaluar....


El dibujo no se si acompaña al enunciado o es una interpretaciòn errònea de esas palabras, pues lo contradice.

Hola.
la profundidad se mide desde el vértice del cono hacia arriba, luego z=60 dm  y r=30 dm en el punto a evaluar....


El dibujo no se si acompaña al enunciado o es una interpretaciòn errònea de esas palabras, pues lo contradice.
Cierto, no me había fijado en que la altura es 60 dm, por tanto z=60, en vez de 40 dm.

El dibujo no creo que esté mal, lo que ocurre es que no es muy claro, 50 dm se refiere al radio de la tapa y 60 dm al nivel de liquido ( a la altura que alcanza desde el vértice , es decir z) nunca la altura del deposito que es 100 dm.

Saludos.
P.D. El 60 debería estar colocado más abajo a la altura del nivel o poner abajo z=60, para evitar controversias, pero nunca la altura del cono de agua es 100-60=40, eso es la altura del tronco de cono vacío.

Es cuestión de interpretación. También es posible interpretar que el que esta llenando el depósito se encuentra encima de la tapa, cosa bastante lógica, y toma la medida de la profundidad a la que se encuentra el nivel del agua desde la tapa, esta será la profundidad del depósito menos la altura del cono de agua, esto es    \( 100-40=60 \),    esto es, se toman    \( 40\,dm \)    como altura del cono del agua.

Saludos y gracis.

04 Septiembre, 2020, 01:13 pm
Respuesta #7

robinlambada

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la profundidad se mide desde el vértice del cono hacia arriba, luego z=60 dm  y r=30 dm en el punto a evaluar....


El dibujo no se si acompaña al enunciado o es una interpretaciòn errònea de esas palabras, pues lo contradice.

Hola.
la profundidad se mide desde el vértice del cono hacia arriba, luego z=60 dm  y r=30 dm en el punto a evaluar....


El dibujo no se si acompaña al enunciado o es una interpretaciòn errònea de esas palabras, pues lo contradice.
Cierto, no me había fijado en que la altura es 60 dm, por tanto z=60, en vez de 40 dm.

El dibujo no creo que esté mal, lo que ocurre es que no es muy claro, 50 dm se refiere al radio de la tapa y 60 dm al nivel de liquido ( a la altura que alcanza desde el vértice , es decir z) nunca la altura del deposito que es 100 dm.

Saludos.
P.D. El 60 debería estar colocado más abajo a la altura del nivel o poner abajo z=60, para evitar controversias, pero nunca la altura del cono de agua es 100-60=40, eso es la altura del tronco de cono vacío.

Es cuestión de interpretación. También es posible interpretar que el que esta llenando el depósito se encuentra encima de la tapa, cosa bastante lógica, y toma la medida de la profundidad a la que se encuentra el nivel del agua desde la tapa, esta será la profundidad del depósito menos la altura del cono de agua, esto es    \( 100-40=60 \),    esto es, se toman    \( 40\,dm \)    como altura del cono del agua.

Saludos y gracis.
Qiuizás, sea cuestión de a que se le llama profundidad, pero lo normal es que si no se especifica se refiere a la profundidad del liquido, cuando hablamos de la profundidad del agua justo en una presa, no hablamos de la distancia de lo alto de la presa al nivel del agua, sino desde el nivel del agua hasta la profundidad del suelo, por tanto no creo que te digan que la profundidad sin llenar sean 60 dm, lo lógico es que si no especifican nada la profundidad se refiere a la profundidad del líquido y no creo que se refiera a la altura que le queda al deposito hasta que rebose, pero entiendo que si puede darse tu interpretación.

Pero releyendo de nuevo el enunciado, creo que es más acertada la nuestra por el hecho de que en el enunciado dice "...cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros, esta hablando del agua, entonces es el agua la que alcanza una profundidad de 60 dm , si no te diría el nivel de la parte vacía, y este detalle ya si tiene más importancia.
Saludos.
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04 Septiembre, 2020, 02:16 pm
Respuesta #8

Buscón

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Qiuizás, sea cuestión de a que se le llama profundidad, pero lo normal es que si no se especifica se refiere a la profundidad del liquido, cuando hablamos de la profundidad del agua justo en una presa, no hablamos de la distancia de lo alto de la presa al nivel del agua, sino desde el nivel del agua hasta la profundidad del suelo, por tanto no creo que te digan que la profundidad sin llenar sean 60 dm, lo lógico es que si no especifican nada la profundidad se refiere a la profundidad del líquido y no creo que se refiera a la altura que le queda al deposito hasta que rebose, pero entiendo que si puede darse tu interpretación.

Pero releyendo de nuevo el enunciado, creo que es más acertada la nuestra por el hecho de que en el enunciado dice "...cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros, esta hablando del agua, entonces es el agua la que alcanza una profundidad de 60 dm , si no te diría el nivel de la parte vacía, y este detalle ya si tiene más importancia.
Saludos.

Si, gracias, lo entiendo. Pero espero que estéis de acuerdo conmigo en que lo importante es que, una vez hecha la interpretación, se haga el ejercicio de manera correcta.

¿Sería un suspenso interpretarlo como lo hice?

04 Septiembre, 2020, 06:14 pm
Respuesta #9

robinlambada

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Qiuizás, sea cuestión de a que se le llama profundidad, pero lo normal es que si no se especifica se refiere a la profundidad del liquido, cuando hablamos de la profundidad del agua justo en una presa, no hablamos de la distancia de lo alto de la presa al nivel del agua, sino desde el nivel del agua hasta la profundidad del suelo, por tanto no creo que te digan que la profundidad sin llenar sean 60 dm, lo lógico es que si no especifican nada la profundidad se refiere a la profundidad del líquido y no creo que se refiera a la altura que le queda al deposito hasta que rebose, pero entiendo que si puede darse tu interpretación.

Pero releyendo de nuevo el enunciado, creo que es más acertada la nuestra por el hecho de que en el enunciado dice "...cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros, esta hablando del agua, entonces es el agua la que alcanza una profundidad de 60 dm , si no te diría el nivel de la parte vacía, y este detalle ya si tiene más importancia.
Saludos.

Si, gracias, lo entiendo. Pero espero que estéis de acuerdo conmigo en que lo importante es que, una vez hecha la interpretación, se haga el ejercicio de manera correcta.
Si, en este caso estoy de acuerdo contigo
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¿Sería un suspenso interpretarlo como lo hice?
Eso se lo debes preguntar a tu profesor, yo entiendo que no es motivo para suspender el ejercicio, a lo sumo descontar algo la puntuación.
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