Autor Tema: Calcula \( \lim_{x \to{}0}{\frac{e^{2x}-e^{-2x}-4x}{sen(x)-x}} \)

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02 Septiembre, 2020, 05:45 pm
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africamer

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 No he podido calcular (sin L'Hopital, preferentemente sin Taylor) el siguiente límite:

\( \lim_{x \to{}0}{\frac{e^{2x}-e^{-2x}-4x}{sen(x)-x}} \)

Spoiler
He tratado de hacer aparecer un \( senh(x) \) pero no me resultó muy útil, tampoco pude llegar a una expresión en la que me sea útil \( sen(x)/x \), no veo que acotarlo sea fácil (al parecer tiende a -16), no pareciera que pueda sacar un cociente incremental y no veo muchos recursos algebráicos accesibles...
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02 Septiembre, 2020, 06:49 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Con Taylor es muy sencillo. Con Hôpital también, hay que derivar unas cuantas veces. Sin Taylor ni Hôpital así de primeras no sabría calcularlo.

Con Taylor:
Spoiler
Teniendo en cuenta que \( e^{2x} = 1 + 2x +2x^2 + \frac{4}{3}x^3+ o(x^3) \), \( e^{-2x} = 1-2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + o(x^3)  \) y \( \sin(x) = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3) \), se obtiene.
\[
\lim_{x \to{}0}{\frac{e^{2x}-e^{-2x}-4x}{sen(x)-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{8}{3}x^3 + o(x^3)}{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{8}{3} + o(1)}{-\frac{1}{6} + o(1)}= -16
 \]
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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

02 Septiembre, 2020, 07:06 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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No he podido calcular (sin L'Hopital, preferentemente sin Taylor) el siguiente límite: \( \lim_{x \to{}0}{\frac{e^{2x}-e^{-2x}-4x}{sen(x)-x}} \)

Usando desarrollos limitados tenemos

        \( \displaystyle\frac{e^{2x}-e^{-2x}-4x}{\sin(x)-x}=\frac{2\sinh (2x)-4x}{\sin(x)-x}=\frac{2\left[2x+\left(\frac{2x}{3!}\right)^3+o(x^3)\right]-4x}{x-\left(\frac{x^3}{3!}\right)^3+o(x^3)-x}=\frac{2\left(\frac{2x}{3!}\right)^3+o(x^3)}{-\left(\frac{x^3}{3!}\right)^3+o(x^3)} \).

Dividiendo numerador y denominador entre \( x^3 \) obtendrás com límite \( -16 \).

P.D. Me paso inadvertida la respuesta de geómetracat.

02 Septiembre, 2020, 07:36 pm
Respuesta #3

africamer

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Pero el error es el mismo en ambos casos? no serían errores diferentes para el sen y la exponencial? ya se que ambos se van a 0 de todas formas, pero como lo justificaría?

02 Septiembre, 2020, 07:48 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Pero el error es el mismo en ambos casos? no serían errores diferentes para el sen y la exponencial? ya se que ambos se van a 0 de todas formas, pero como lo justificaría?

El \( o(x^3) \) del numerador no es el mismo que el del denominador aunque se escriba igual. Lo importante es que en ambos casos \( \lim_{x \to 0}{\frac{o(x^3)}{x^3}}=0 \).

02 Septiembre, 2020, 08:01 pm
Respuesta #5

africamer

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Pero el error es el mismo en ambos casos? no serían errores diferentes para el sen y la exponencial? ya se que ambos se van a 0 de todas formas, pero como lo justificaría?

El \( o(x^3) \) del numerador no es el mismo que el del denominador aunque se escriba igual. Lo importante es que en ambos casos \( \lim_{x \to 0}{\frac{o(x^3)}{x^3}}=0 \).

¿El error de \( e^{2x} \) sería \( o(x)= 2/3 t^4 \) con t entre (0,x) correcto? entonces cuando x tiende a 0, podría pensarse:

\( \lim_{x \to{}0}{\frac{\lim_{t \to{}x}{2/3t^4}}{x^3}} = \lim_{x \to{}0}{\frac{2x}{3}} = 0 \)

¿es poco formal ese límite en el numerador?

02 Septiembre, 2020, 08:34 pm
Respuesta #6

Fernando Revilla

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¿El error de \( e^{2x} \) sería \( o(x)= 2/3 t^4 \) con t entre (0,x) correcto? entonces cuando x tiende a 0, podría pensarse:

\( \lim_{x \to{}0}{\frac{\lim_{t \to{}x}{2/3t^4}}{x^3}} = \lim_{x \to{}0}{\frac{2x}{3}} = 0 \)

¿es poco formal ese límite en el numerador?

Sí, es poco formal. Pero además, no tienes por que repetir en cada problema un argumento que es general. Los resultados teóricos están para usarlos en los problemas, caso contrario habría casi que que reproducir la historia de las matemáticas. Echa un vistazo a Fórmula de Taylor con o minúscula, cálculo de límites, especialmente a la parte teórica.

02 Septiembre, 2020, 09:03 pm
Respuesta #7

africamer

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