Autor Tema: Límite de una sumatoria

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02 Septiembre, 2020, 05:35 am
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lcdeoro

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Calcular el siguiente límite:  \( \lim_{n \to{}\infty}{\sum_{k=1}^n{\frac{1}{n}[3(\frac{k}{n})^2+2(\frac{k}{n})+2}]} \).


Mi idea, es convertirlo en una integral definida sabiendo que:

\( \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{x \to{}\infty}{\sum_{k=1}^n{f(a+\Delta xk)\Delta x}} \)  donde, \( \Delta x=\frac{b-a}{n} \)  y \( x_k=a + \Delta xk \)

Primero debo hallar los valores a y b. Entonces, pienso que \( \Delta x=\frac{1}{n} \), luego trato de llevar \( [3(\frac{k}{n})^2+2(\frac{k}{n})+2] \) a la forma \( a+\Delta xk \) pero no logro conseguirlo.

Hago lo siguiente: \( [3(\frac{k}{n})^2+2(\frac{k}{n})+2]=2+\frac{1\cdot{k}}{n}(2+\frac{3\cdot{k}}{n}) \)

Si factorizo el 3 tendría \( 2+\frac{3\cdot{k}}{n}(\frac{2}{3}+\frac{1\cdot{k}}{n}) \) y lo que me queda dentro del paréntesis se parece a la forma que busco y así \( a=\frac{2}{3} \) pero mi duda es que hago con lo de afuera.

O si esta bien la manera en que hallé a.

02 Septiembre, 2020, 12:58 pm
Respuesta #1

Buscón

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Hola, a mi me da

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}\Bigg(\sum_{k=1}^n{\frac{1}{n}\cdot{\left[3\cdot{}\left(\frac{k}{n}\right)^2+2\cdot{}\left(\frac{k}{n}\right)+2\right]}}\Bigg)=\color{red}4 \)


considerando que el intervalo de integración es el    \( [0,1] \),    el paso de la partición es    \( \dfrac{1}{n} \).    Sólo hay que convertir las sumatorias en tres sumatorias.

Saludos.


CORREGIDO.

02 Septiembre, 2020, 01:02 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Calcular el siguiente límite:  \( \lim_{n \to{}\infty}{\sum_{k=1}^n{\frac{1}{n}[3(\frac{k}{n})^2+2(\frac{k}{n})+2}]} \).

Mira el resumen teórico de Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales. Sencillamente es:

          \( \displaystyle \lim_{n \to{}\infty}{\sum_{k=1}^n{\frac{1}{n}[3(\frac{k}{n})^2+2(\frac{k}{n})+2}]}=\int_{0}^{1} (3x^2+2x+2) \;dx=\ldots=4 \).

02 Septiembre, 2020, 08:02 pm
Respuesta #3

africamer

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Muy útil el link!