Autor Tema: Obtener máximo de una función

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01 Septiembre, 2020, 09:22 pm
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lcdeoro

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Obtenga el valor máximo de \( f(x)= cot x - \sqrt[ ]{2}csc x \)  en \( (0, \pi) \)

Primero realicé la derivada, y obtuve: \( f^{\prime}(x)=-csc^2x+\sqrt[ ]{2}cscx\cdot{} cotx=-(1+cot^2x)+\sqrt[ ]{2}cot x \sqrt[ ]{1+cot^2x} \)

Luego, tome \( t^2=1+cot^2x \) sustituí : \( -t^2+\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{t^2-1}t=0 \) para hallar las raices.

factorizo: \( t(-t+\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{t^2-1})=0 \)

Ya tendría que \( t=0 \) pero la función no esta evaluada en 0, entonces me quedaría: \( -t+\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{t^2-1}=0 \) luego, \( 2(t^2-1)=t^2 \) y así \( t^2= 2 \)

Luego, \( 1+cot^2x=2 \Longrightarrow{}cot^2x=1 \) y he llegado ahí pero no sé como hallar las raíces.

Después de hallar las raíces pensaba evaluarlas en la función para ver el máximo absoluto.

Corregido, teniendo en cuenta la sugerencia de delmar.

01 Septiembre, 2020, 11:40 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Hay un pequeño error operativo en el desarrollo, \( t^2=1+cot^2x\Rightarrow{cot^2x=t^2-1}\Rightarrow{cot \ x=\sqrt[ ]{t^2-1}} \) solo se considera la raíz positiva por que necesariamente es positiva, según la ecuación inicial de la derivada. Ojo f no esta definida en 0 ni en \( \pi \)




Saludos

02 Septiembre, 2020, 06:35 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Hola

Obtenga el valor máximo de \( f(x)= cot x - \sqrt[ ]{2}csc x \)  en \( (0, \pi) \)

Primero realicé la derivada, y obtuve: \( f^{\prime}(x)=-csc^2x+\sqrt[ ]{2}cscx\cdot{} cotx\cdots \)
...

A ver

\[ f^{\prime}(x)=-csc^2x+\sqrt[ ]{2}cscx\cdot{} cotx=-csc^2x+\sqrt[ ]{2}csc^2x\cdot{} cosx=\underbrace{csc^2(x)}_{\neq 0 \forall x\in\mathbb{R}}(-1+\sqrt{2}cos(x))=0 \]

Entonces tenemos

\[ (-1+\sqrt{2}cos(x)=0\quad\Rightarrow\quad cos(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{4} \]


Saludos



No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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02 Septiembre, 2020, 07:04 pm
Respuesta #3

lcdeoro

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Mi camino fue más largo, pero igual llegué a la misma solución:

Ya teniendo \( cot^2x=1\Longrightarrow{}cot x=1\Longrightarrow{x=arccot (1)=\frac{\pi}{4}} \)

Luego, evaluando en f. tenemos:

\( f(\frac{\pi}{4})=cot(\frac{\pi}{4})-\sqrt[ ]{2}csc(\frac{\pi}{4}) \)

\( f(\frac{\pi}{4})=1-\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{2}=1-2=-1 \)

Luego el máximo sería \( (\frac{\pi}{4},-1) \)

03 Septiembre, 2020, 12:17 am
Respuesta #4

ingmarov

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Hola

...
Luego el máximo sería \( (\frac{\pi}{4},-1) \)

¿En base a qué afirmas que ese es un punto máximo?

Lo es, pero te falta un paso para demostrarlo, probar que la segunda derivada es negativa para todo el intervalo dado.


Saludos

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