Autor Tema: Anillo con un único maximal

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01 Septiembre, 2020, 07:05 pm
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pseudo matematico

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Sea $$A$$ un anillo con un único maximal $$M$$. Demostrar que $$M$$ es el conjunto de elementos no invertibles de $$A$$

Mi propuesta como solución a este ejercicio es

Por reducción al absurdo, sea $$x\in M$$ un elemento invertible. Por ser$$M$$ maximal tenemos que es un ideal de $$A$$. Por ser un ideal con un elemento invertible $$M=A$$ lo cual contradice la condición de ideal maximal, por lo tanto, $$M$$ son los elementos no invertibles de $$A$$

Mi duda es si la demostración es correcta y si es lo suficientemente formal o podría mejorarse de alguna forma, enfocando la demostración por otro camino o corrigiendo algunos errores.
¿Alguna sugerencia?

01 Septiembre, 2020, 07:17 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Lo que haces está bien pero no resuelve el problema. Lo que demuestras ahí es que si \( M \) es un ideal maximal de un anillo, entonces todos los elementos de \( M \) son no invertibles, lo cual es cierto para cualquier ideal maximal en cualquier anillo. La parte "difícil" es la inclusión contraria: si \( A \) tiene un único ideal maximal \( M \) entonces todos los elementos no invertibles del anillo están en \( M \).

Fíjate que en lo que has demostrado no has usado en ningún momento la condición de que \( A \) tiene un único ideal maximal, pero es clave para probar el resultado. Por ejemplo, en \( \Bbb Z \) tienes que \( (2) \) es un ideal maximal pero hay elementos no invertibles que no están en él (\( 3 \) por ejemplo). Esto pasa porque \( \Bbb Z \) tiene más de un ideal maximal, claro.

Para probar la inclusión que te interesa, sea \( x \in A \) un elemento no invertible. Entonces, puedes considerar el ideal generado por \( x \), que estará contenido en algún ideal maximal... intenta acabar tú.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Septiembre, 2020, 07:50 pm
Respuesta #2

pseudo matematico

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Entiendo, no se muy bien como continuar

¿Tengo que tomar todos los elementos no invertibles de A y considerar los ideales generados por todos esos elementos? luego considerar la unión de todos esos ideales...?

01 Septiembre, 2020, 07:59 pm
Respuesta #3

geómetracat

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No, es mucho más sencillo. Toma un \( x \in A \) no invertible. Entonces \( x \) está en algún ideal maximal de \( A \) (considera el ideal \( (x) \), observa que como \( x \) no es invertible \( (x) \neq A \), y usa que todo ideal propio de un anillo está contenido en un ideal maximal). Pero por hipótesis solo hay un ideal maximal en \( A \) que es \( M \). Por tanto, \( x \in M \). Y ya está, así ves que cualquier elemento no invertible está en \( M \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)