Autor Tema: Limites por Taylor

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01 Septiembre, 2020, 12:11 pm
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mg

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Hola.

Me gustaría aprender a usar Taylor en límites de forma rigurosa y precisa, pero tengo una duda acerca de ello.

Para empezar en mis apuntes se define la formula de Taylor de f en el punto \( x_0 \) de orden \( n \) con la siguiente expresión:
\( f(x)=T_n(f,x_0)+\alpha(x)|x-x_0| \),
donde \( T_n(f,x_0) \) es el polinomio de Taylor de f de orden n alrededor de \( x_0 \) y \( \alpha:\mathbb{R\rightarrow{\mathbb{R}}} \) es una función continua tal que \( \alpha(x_0)=0 \). A partir de ahora me referiré a la función \( \alpha \) como el resto de Taylor.

Entonces, si por ejemplo yo tengo que calcular el siguiente límite:
\( \lim_{x \to{0}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{senx}} \),

La función \( f(x)=senx \) puede ser expresada por Taylor como, \( f(x)=x-\frac{x^3}{6}+\alpha(x)|x-x_0| \) siendo \( \alpha \) una función como la definida anteriormente. Entonces si yo sustituyo en el límite tendría.
\( \lim_{x \to{0}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x-\frac{x^3}{6}+\alpha(x)|x-x_0|}} \), y podría resolverse (operando fracciones) si el resto de Taylor no apareciera. Sin embargo, en algunas páginas de internet que he consultado efectivamente no lo ponen, y en mis apuntes no aparece ejemplo alguno,  de modo que mi duda es ¿Qué hago con el resto de Taylor? Y en caso de que pudiera obviarlo cuando lo uso en los límites, ¿qué justifica que pueda obviarlo?

gracias, un saludo

01 Septiembre, 2020, 08:57 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Hola.

Me gustaría aprender a usar Taylor en límites de forma rigurosa y precisa, pero tengo una duda acerca de ello.

Para empezar en mis apuntes se define la formula de Taylor de f en el punto \( x_0 \) de orden \( n \) con la siguiente expresión:
\( f(x)=T_n(f,x_0)+\alpha(x)|x-x_0| \),
donde \( T_n(f,x_0) \) es el polinomio de Taylor de f de orden n alrededor de \( x_0 \) y \( \alpha:\mathbb{R\rightarrow{\mathbb{R}}} \) es una función continua tal que \( \alpha(x_0)=0 \). A partir de ahora me referiré a la función \( \alpha \) como el resto de Taylor.


Si quieres aprender en forma rigurosa, lo que te han dicho hay que ampliarlo, en otras palabras no es suficiente, se tiene que conocer más sobre el error en la aproximación de la función f en \( x_0 \) por un polinomio de Taylor \( T_nf(x,x_0) \). Ese error \( E_nf(x)=f(x)-T_nf(x,x_0) \) en efecto es una función continua cuyo valor es cero en \( x_0 \), pero en un entorno en general no lo es. Cuando la función f tiene derivada continua de orden n+1 el error en un entorno se puede expresar utilizando la notación de Landau, como \( E_nf(x)=o((x-x_0)^n) \) lo cual significa \( \lim_{x \to{}x_0}{\frac{E_nf(x)}{(x-x_0)^n}}=0 \) y esto tiene aplicaciones el cálculo de límite, obviamente utilizando las propiedades de las expresiones de Landau, es conveniente que te informes de ellas y las demuestres.


Entonces, si por ejemplo yo tengo que calcular el siguiente límite:
\( \lim_{x \to{0}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{senx}} \),

La función \( f(x)=senx \) puede ser expresada por Taylor como, \( f(x)=x-\frac{x^3}{6}+\alpha(x)|x-x_0| \) siendo \( \alpha \) una función como la definida anteriormente. Entonces si yo sustituyo en el límite tendría.
\( \lim_{x \to{0}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x-\frac{x^3}{6}+\alpha(x)|x-x_0|}} \), y podría resolverse (operando fracciones) si el resto de Taylor no apareciera. Sin embargo, en algunas páginas de internet que he consultado efectivamente no lo ponen, y en mis apuntes no aparece ejemplo alguno,  de modo que mi duda es ¿Qué hago con el resto de Taylor? Y en caso de que pudiera obviarlo cuando lo uso en los límites, ¿qué justifica que pueda obviarlo?

gracias, un saludo

En general es evidente siempre se debe poner el error y como expresión Landau en caso se pueda, de lo contrario se esta mutilando la función. Para el caso concreto que se ha puesto, es conveniente ponerlo en otra forma : \( \frac{1}{x}-\frac{1}{sen \ x}=\frac{sen \  x-x}{x sen \ x} \) y ahí aproximar el seno por Taylor con el grado apropiado, el seno es infinitamente derivable, su error se puede expresar con la notación Landau.

Saludos

02 Septiembre, 2020, 11:52 am
Respuesta #2

mg

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Muchas gracias. Investigare en el tema.
Un saludo

02 Septiembre, 2020, 07:11 pm
Respuesta #3

robinlambada

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Hola, échale un vistazo a las páginas 5 y 6 de este documento adjunto.

 Si la derivada enésima de la función está acotada en un entorno de $$x_o$$ , el resto de la fórmula de Taylor de orden "n" ,  es un infinitésimo de al menos orden "n", por tanto despreciable frente al último termino del polinomio. ( lógicamente si $$ x\rightarrow{}x_o$$ )

Saludos.
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03 Septiembre, 2020, 03:21 pm
Respuesta #4

mg

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Voy a intentar calcular el error para mi ejemplo, a ver si me pueden ayudar.
El limite del ejemplo equivale a,
\( \lim_{x \to0}{\frac{senx-x}{x\cdot{senx}}} \)

En este caso con el polinomio de Taylor de orden 3 me es suficiente para resolver el limite de modo que:
\( T_3(f,0)=x-\frac{x^3}{6} \),
Usando el resto de Lagrange para el \( T_3(f,0) \) se tiene que existe \( c \) comprendido entre x y 0 en este caso tal que se verifica que,
\( f(x)=T_3(f,0)+\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}x^{n+1} \), el error por tanto será,
\( \frac{f^{4}(c)}{4!}x^{4}=f(x)-T_3(f,0) \)
\( f(x)-T_3(f,0)=\frac{sen(c)}{4!}x^{4}\leq{\frac{x^{4}}{4!}} \)
 Y ahora creo que entiendo el hecho de que se pueda obviar el resto, corrijanme si tengo la idea equivocada, pero cuanto mas se aproxime x a cero menor va a ser el error, y evidentemente en 0 el resto es 0

03 Septiembre, 2020, 04:43 pm
Respuesta #5

robinlambada

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Voy a intentar calcular el error para mi ejemplo, a ver si me pueden ayudar.
El limite del ejemplo equivale a,
\( \lim_{x \to0}{\frac{senx-x}{x\cdot{senx}}} \)

En este caso con el polinomio de Taylor de orden 3 me es suficiente para resolver el limite de modo que:
\( T_3(f,0)=x-\frac{x^3}{6} \),
Usando el resto de Lagrange para el \( T_3(f,0) \) se tiene que existe \( c \) comprendido entre x y 0 en este caso tal que se verifica que,
\( f(x)=T_3(f,0)+\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}x^{n+1} \), el error por tanto será,
\( \frac{f^{4}(c)}{4!}x^{4}=f(x)-T_3(f,0) \)
\( f(x)-T_3(f,0)=\frac{sen(c)}{4!}x^{4}\leq{\frac{x^{4}}{4!}} \)
 Y ahora creo que entiendo el hecho de que se pueda obviar el resto, corrijanme si tengo la idea equivocada, pero cuanto mas se aproxime x a cero menor va a ser el error, y evidentemente en 0 el resto es 0
Es correcto .

Saludos.
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