Autor Tema: El guardabosques y el mono

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01 Septiembre, 2020, 04:21 pm
Respuesta #20

martiniano

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Hola.

Si el proyectil sólo puede dar al mono antes de que éste llegue al origen es sencillo ver que hay ejemplos en los que el mono se salva. Incluso sin tener en cuenta los casos en los que proyectil, mono y Origen están alineados en el momento del disparo.

Si el proyectil se lanza en una dirección que no pase por el origen va a empezar a describir órbitas elípticas y periódicas con el origen en uno de sus focos. Esto es una consecuencia de las Leyes de Kepler o de la más general Ley de gravitación universal. Para demostrar la primera de aquéllas a partir de la segunda es para lo que hace falta integrar un sistema de EDOs en coordenadas polares pero no creo que eso sea necesario para contestar.

Pues bien. Supongamos que lanzamos el proyectil con una determinada velocidad y que en el momento del disparo soltamos el mono desde un punto de la dirección en la que apunta el proyectil y el mono es alcanzado antes de que el proyectil complete su primera órbita.

Como el tiempo que tarda el mono en llegar al Origen depende de la distancia desde la que se suelte nos proponemos alejar al mono lo suficiente como para que el proyectil complete su primera vuelta y repetimos la experiencia lanzando el proyectil con la misma velocidad.

Si tenemos la mala suerte de que el mono ha sido nuevamente acertado, esta vez en la segunda vuelta del proyectil, tenemos que entre los dos puntos desde los que hemos lanzado al mono habrá algunos en los que el mono alcanzará la órbita del proyectil cuando éste se halle lejos del punto de intersección y dejando caer al mono desde este nuevo punto el primate zafará.

Casi mejor dejarlo.

Como quieras...

Un saludo.

01 Septiembre, 2020, 11:44 pm
Respuesta #21

sedeort

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El caso de Origen, mono y velocidad inicial de proyectil alineados lo dejamos por "simple".

Martiniano, no siempre es elíptica la trayectoria de la bala. Puede ser abierta (parábola o hipérbola) para velocidades iniciales suficientemente altas.
La del mono sí es siempre rectilínea, radial.

El problema me temo que es muy complejo. Y aventuro que no siempre se produce el impacto como en el caso sencillo de g=cte

Por ejemplo, se me ocurre ahora, en una posición inicial del mono por debajo de la bala y con una velocidad inicial suficientemente baja. La bala nunca podría alcanzar al mono.
Por cierto, para este caso en el problema original habría impacto?

02 Septiembre, 2020, 12:21 am
Respuesta #22

Richard R Richard

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si el mono es también alcanzado si pasamos a una gravedad más genérica, con dirección radial e intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a un Origen.
Alguien se anima?


Si lanzas desafíos, .... bueno veremos,


Ya vimos que si la gravedad es constante , y la velocidad perpendicular a la gravedad es lo suficiente como para en un tiempo inferior a que el mono toque suelo o fondo, entonces siempre es impactado.




\( Y_m-Y_b=H-v_o \sin\theta t \)


La respuesta a esta nueva pregunta es más sencilla, sigamos sosteniendo algunas hipótesis que no hay rozamiento del aire, y que la curvatura de la superficie terrestre no afecta al resultado y que para disparar tenemos que hacerlo apuntando directo al mono, es decir lanzamos  con un ángulo definido \( \theta \),


Lo que propones es que la gravedad que afecta al mono por hallarse  más alto o a una altura h , es de menor magnitud, que la gravedad que afecta a la bala desde el momento del lanzamiento por estar a menor altura,  esta sometida a mayor gravedad,


Las condiciones cinemáticas que hacen que en el problema inicial no importara el ángulo de lanzamiento para impactar, eran justamente que tanto bala como el mono caían libremente con la misma aceleración, pero si ahora ya no impones eso, es una obviedad, que no habrá forma de darle al mono en el punto exacto donde se le apuntó, la bala siempre errará pasando por debajo. A mayor diferencia radial, más se erra.


Y si la situación es que la bala se lanza desde arriba que la altura a la que está el mono, pues se errará por arriba, solo por el hecho que las aceleraciones solo son iguales cuando la posición radial(respecto del centro de la tierra) sea la misma para ambos, mono y bala.


La resolución de las ecuaciones diferenciales de órbitas que se encuentran no son sencillas, espero te sirva solo el fundamento teórico.
No creo que las ED sean imposibles, pero creo que hasta la NASA las resuelve por métodos numéricos, y no por igualación de ecuaciones.
Una forma rudimentaria de verlo (exacta no es) es suponer para la bala una gravedad a la altura media entre la altura de impacto y tierra y para el mono una para la altura media entre la altura de la rama y la altura de impacto 


\( Y_m-Y_b=H-v_o \sin\theta t-\dfrac12 g_m t^2+\dfrac12 g_b t^2 \)


como


 \( g_b=\dfrac{GM_T}{(R_T+Y_i/2)^2}
 \)
y
 \( g_m=\dfrac{GM_T}{(R_T+Y_i/2+H/2)^2}
 \)


se ve que \( g_b>g_m \) o en general que \( g_b\neq g_m \)


por lo que  \( Y_m-Y_b  \) la distancia vertical entre mono y bala, puede mantenerse mayor o menor que 0 para todo t, sin ser 0 nunca,  es decir erra el tiro, dependiendo de las condiciones iniciales.




No creo que la NASA lo haga así pero este sería mi intento


Se plantea la conservación de la energía mecánica de la órbita , es decir la energía de un objeto en un campo gravitatorio, la puedes dividir en dos partes una  refiriéndose al potencial gravitatorio en sí a la distancia radial R y otro debido ala energía cinetica que tiene a esa altura \( R= R_T+h \)


Así para el Mono que cae desde una altura H por encima de la superficie de la tierra


\( -\dfrac{GM_T}{R_T+H}=-\dfrac{GM_T}{R}+\frac 12 v_M^2 \)


* no pongo la masa del mono ni la de la bala en la siguiente ecuación ya que todos los objetos caen "igual no importa su masa"(para masas muy inferiores a la masa de la tierra).


Para la Bala


\( -\dfrac{GM_T}{R_T}+\frac 12 v_o^2\sin^2\theta=-\dfrac{GM_T}{R}+\frac 12 v_b^2 \)




como \( v=\dfrac{dR}{dt} \)


se puede resolver una ED par hallar R(t)


Para el Mono hasta la altura de impacto \( Y_i \)


\( \displaystyle{\int\limits_{R_T+H}^{R_T+Y_i}\dfrac{dR}{\sqrt{2GM_T\left(\dfrac 1R-\dfrac1{R_T+H}\right)}}}=t-t_o \)


para la Bala


\( \displaystyle{\int\limits_{R_T}^{R_T+Y_i}\dfrac{dR}{\sqrt{2GM_T\left(\dfrac 1R-\dfrac1{R_T}\right)+v_o^2\sin^2\theta}}}=t-t_o \)




Solo queda  resolver las integrales, e igualarlas para la misma diferencia de tiempos t-t_o y ver si puede existir un \( Y_i \) en el que ambos estén en el mismo instante....


Te animas? Se animan?

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

02 Septiembre, 2020, 08:58 am
Respuesta #23

sedeort

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Richard, del análisis cualitativo que hiciste al principio creo entender esto. Espero que sea lo que hayas querido decir.

Si el mono está inicialmente por encima (tiene un r superior) de la bala entonces ésta siempre pasará por debajo del mono ya que la mayor gravedad sobre ella "sobrecurvaría" su trayectoria.

En caso contrario, la bala tampoco acertaría y pasaría siempre por encima del mono.

Y en el caso que partan de un mismo r siempre habría acierto (ya que en todo momento la bala siempre sentiría la misma g que el mono (o r(t) es el mismo para ambos)).

En los tres casos el resultado sería independiente del ángulo inicial BOM (bala-Origen-mono) y la velocidad inicial de la bala, claro.

Interesante y simple abordaje del problema! Bravo!

P.D. de mi cosecha, jeje. Cuando el ángulo inicial BOM es 0° ó 180° siempre habría acierto.

02 Septiembre, 2020, 03:31 pm
Respuesta #24

martiniano

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Hola.

Martiniano, no siempre es elíptica la trayectoria de la bala. Puede ser abierta (parábola o hipérbola) para velocidades iniciales suficientemente altas.

Sí, es cierto. Lo que he hecho es demostrar que si la bala sigue órbitas elípticas hay situaciones en las que el mono se salva. Ciertamente, con órbitas hiperbólicas o parabólicas era más sencillo probar que puede no darse el impacto porque la bala sólo pasa una vez por cada punto de su trayectoria.

Por ejemplo, se me ocurre ahora, en una posición inicial del mono por debajo de la bala y con una velocidad inicial suficientemente baja. La bala nunca podría alcanzar al mono.
Por cierto, para este caso en el problema original habría impacto?

No sé muy bien cómo es la situación a la que te refieres, ¿podrías hacer un dibujo?

Un saludo.

02 Septiembre, 2020, 04:25 pm
Respuesta #25

sedeort

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Martiniano, el dibujo te lo voy a describir con coordenadas (para mí más fáciles de poner aquí). Me estaba refiriendo al caso original de g=cte y siempre ignoro que haya un suelo que frene los movimientos.
Ejemplo:
Posición inicial Bala (0, 1000)
Posición inicial Mono (1000, 0)
Velocidad inicial bala (1, -1)
g (0, -1) cte

Seguramente se producirá impacto también (qué más da que la bala sea disparada en una dirección u otra?) Pero era a este caso al que me refería.

02 Septiembre, 2020, 04:55 pm
Respuesta #26

martiniano

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Hola.

Pues diría que sí se produce el impacto.
 Es un caso particular del problema original. No veo que la situación tenga nada de especial, ¿no?

Un saludo.

02 Septiembre, 2020, 09:12 pm
Respuesta #27

sedeort

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Yo dije esto antes:

"Y en el caso que partan de un mismo r siempre habría acierto (ya que en todo momento la bala siempre sentiría la misma g que el mono (o r(t) es el mismo para ambos))"

Y creo que estoy muy equivocado, sobretodo en lo de que r(t) (y por tanto g(t)) de bala y mono es la misma función, independientemente de la velocidad inicial de la bala.
Esta dependencia de r(t) con v inicial de la bala es clara cuando el sentido se dirige hacia las proximidades de O. En este caso, se ve fácil que r(t) decrece más rápidamente cuanto mayor sea la v inicial. En cambio el mono siempre tiene la misma r(t).
O sea, no estarían expuestos a la misma gravedad en todo momento y no estaría claro que hubiese siempre acierto (según la hipótesis de Richard).

03 Septiembre, 2020, 02:37 am
Respuesta #28

Richard R Richard

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Richard, del análisis cualitativo que hiciste al principio creo entender esto. Espero que sea lo que hayas querido decir.




Si el mono está inicialmente por encima (tiene un r superior) de la bala entonces ésta siempre pasará por debajo del mono ya que la mayor gravedad sobre ella "sobrecurvaría" su trayectoria.




En caso contrario, la bala tampoco acertaría y pasaría siempre por encima del mono.




Correcto, Advierto que no soy un erudito en la materia pero me gusta "jugar" con estas cosas...












Y en el caso que partan de un mismo r siempre habría acierto (ya que en todo momento la bala siempre sentiría la misma g que el mono (o r(t) es el mismo para ambos)).




Si pero recuerda que aun estás  calculando en circunstancias ideales , las que ya te marque antes....




sigamos sosteniendo algunas hipótesis que no hay rozamiento del aire, y que la curvatura de la superficie terrestre no afecta al resultado y que para disparar tenemos que hacerlo apuntando directo al mono, es decir lanzamos  con un ángulo definido \( \theta \),




Es decir esas ecuaciones son validas en un planeta infinitamente grande y sin atmósfera,












Cuando el ángulo inicial BOMes 0° ó 180° siempre habría acierto.






Ojo solo con el cumplimiento de las hipótesis anteriores, además de que el tiempo hasta el impacto sea mayor que cero, aunque ésta sería una cuestión superflua. Además necesita ser cierto que \( t-to \) en ambas ecuaciones sea constante, es decir los inicios de las caídas libres deben ser simultáneos.




Pero si por otro lado  permites geometría esférica es decir tomas R como un radio y no como una altura, debes evaluar también la componente energética que aporta el momento angular \( \dfrac{L_b^2}{2m} \) al potencial de la órbita,




donde \( L_b=mv_o\cos\theta R_T \)




Así si con la velocidad tangencial apropiada , puede que cuentes siempre con un ángulo que tarde o temprano impacte con el mono.




Entonces si hay curvatura , sí es importante la velocidad de la bala, pues esta define la órbita que describe, de las cuales hay varias formas en que se producen cruces de órbita (algunas no se darían por las condiciones del problema solo considerando 1 periodo para las órbitas), entonces solo algunas  tienen posibilidad coincidencia entre coordenadas \( R,\theta \,y\, t \) descontando ya que esta aclarado que consideramos que las  órbitas estén contenidas en el mismo plano.

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)