Autor Tema: Ejercicio del Teorema Fundamental del Cálculo

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31 Agosto, 2020, 09:33 pm
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lcdeoro

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Hallar \( f(4) \) si \( \int_{0}^{f(x)}t^3 dt=\pi cos(\pi x) \).

Suponiendo que f es continua en un intervalo [a,b] tal que a < 0 < b.

Ahora, derivando en ambos lados de la ecuación tendríamos que:

\( (f(x))^3f^{\prime}(x)=-\pi^2 sen(\pi x) \)

No sé si apliqué bien el teorema fundamental del cálculo, pero he llegado ahí y no logró saber como despejar \( f(x) \) para luego hallar \( f(4) \)

31 Agosto, 2020, 10:24 pm
Respuesta #1

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Hallar \( f(4) \) si \( \int_{0}^{f(x)}t^3 dt=\pi cos(\pi x) \).

Suponiendo que f es continua en un intervalo [a,b] tal que a < 0 < b.

Ahora, derivando en ambos lados de la ecuación tendríamos que:

\( (f(x))^3f^{\prime}(x)=-\pi^2 sen(\pi x) \)

No sé si apliqué bien el teorema fundamental del cálculo, pero he llegado ahí y no logró saber como despejar \( f(x) \) para luego hallar \( f(4) \)

Tienes que \( \int_{0}^x t^3\mathop{}\!d t=\frac{x^4}{4} \) por tanto \( \int_{0}^{f(x)}t^3\mathop{}\!d t=\ldots  \)

31 Agosto, 2020, 10:54 pm
Respuesta #2

lcdeoro

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Tienes que \( \int_{0}^x t^3\mathop{}\!d t=\frac{x^4}{4} \) por tanto \( \int_{0}^{f(x)}t^3\mathop{}\!d t=\ldots  \)

Entonces la derivada simplemente sería \( (f(x))^3 \) luego la despejo. y obtendría \( f(x)=\sqrt[3]{-\pi^2 sen (\pi x) } \)

Y suponiendo valida la expresión para \( x=4 \) entonces \( f(4)=0 \)

31 Agosto, 2020, 10:56 pm
Respuesta #3

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Tienes que \( \int_{0}^x t^3\mathop{}\!d t=\frac{x^4}{4} \) por tanto \( \int_{0}^{f(x)}t^3\mathop{}\!d t=\ldots  \)

Entonces la derivada simplemente sería \( (f(x))^3 \) luego la despejo. y obtendría \( f(x)=\sqrt[3]{-\pi^2 sen (\pi x) } \)

Y suponiendo valida la expresión para \( x=4 \) entonces \( f(4)=0 \)
No, la derivada de la expresión de la integral la habías obtenido correctamente en el inicio del tema. No necesitas derivar para hallar \( f(4) \), piensa en \( f(x) \) como si fuese \( x \), en definitiva ambas expresiones son símbolos que representan un valor determinado.

31 Agosto, 2020, 11:07 pm
Respuesta #4

lcdeoro

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Resolviendo la integral y despejando me quedaría \( f(x)=\sqrt[4]{4\pi cos (\pi x)} \).

Si x=4 entonces \( f(4)=\sqrt[4]{4\pi} \)

31 Agosto, 2020, 11:21 pm
Respuesta #5

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Resolviendo la integral y despejando me quedaría \( f(x)=\sqrt[4]{4\pi cos (\pi x)} \).

Si x=4 entonces \( f(4)=\sqrt[4]{4\pi} \)

Eso es.



Un pequeño comentario: el ejercicio no está 100% bien definido ya que si \( [a,b]\subset \operatorname{dom}(f) \) con \( a<0<b \) y \( 4\in[a,b] \) entonces necesariamente hay valores de \( x\in[a,b] \) para los que \( \cos(\pi x)<0 \) y por tanto en ese punto \( f(x) \) es un valor complejo con parte imaginaria no nula por lo tanto la expresión \( \int_{0}^{f(x)}t^3\mathop{}\!d t \) sólo tiene sentido si entendemos que la integral se lleva a cabo sobre cualquier camino en el plano complejo suficientemente regular, es decir, tal que la integral esté definida.

31 Agosto, 2020, 11:57 pm
Respuesta #6

africamer

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Hallar \( f(4) \) si \( \int_{0}^{f(x)}t^3 dt=\pi cos(\pi x) \).

Suponiendo que f es continua en un intervalo [a,b] tal que a < 0 < b.

Ahora, derivando en ambos lados de la ecuación tendríamos que:

\( (f(x))^3f^{\prime}(x)=-\pi^2 sen(\pi x) \)

No sé si apliqué bien el teorema fundamental del cálculo, pero he llegado ahí y no logró saber como despejar \( f(x) \) para luego hallar \( f(4) \)

Tienes que \( \int_{0}^x t^3\mathop{}\!d t=\frac{x^4}{4} \) por tanto \( \int_{0}^{f(x)}t^3\mathop{}\!d t=\ldots  \)

No entiendo por qué esto está mal, es lo que yo haría, derivo y encuentro f(x)... ¿que es lo que está mal en ese procedimiento?

01 Septiembre, 2020, 01:00 am
Respuesta #7

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No entiendo por qué esto está mal, es lo que yo haría, derivo y encuentro f(x)... ¿que es lo que está mal en ese procedimiento?

En principio el procedimiento de lcdeoro no está mal siempre y cuando podamos justificar que \( f \) sea diferenciable, lo cual no veo muy claro como hacerlo. En cualquier caso no se ve cómo a partir de la derivada solucionar el problema, el camino más directo sería plantear una ecuación diferencial y estaríamos dando un rodeo gratuito e innecesario para hallar la solución al problema.