Autor Tema: Calcula \( \lim_{x \to{}0}{\frac{e^x-1-x-x^2/2}{x^2}} \)

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31 Agosto, 2020, 08:43 pm
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africamer

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Calcula (¡sin usar L'Hopital!):

\(  \lim_{x \to{}0}{\frac{e^x-1-x-x^2/2}{x^2}}     \)

31 Agosto, 2020, 08:56 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Usando Taylor (\( f(x) = e^x  \)  )
\( e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2} + f'''(h_x) \cdot \dfrac{x^3}{3!}  \) donde \( h_x \in [0,x]  \) o \( h_x \in [x,0]  \)

31 Agosto, 2020, 09:32 pm
Respuesta #2

delmar

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Hola

Otra forma utilizando la notación de Landau para el error, en  la aproximación por polinomio de Taylor grado 2. \( e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2) \) en esas circunstancias el límite queda :

\( \lim_{x \to{}0}{\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^2}} \)

Simplemente recordar las propiedades de las expresiones de Landau y que significan y el límite esta claro.

Saludos

31 Agosto, 2020, 09:49 pm
Respuesta #3

africamer

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Bien, gracias. Con tomar el límite de la expresión del error cuando x tiende a 0 el problema estaría resuelto no?

31 Agosto, 2020, 10:24 pm
Respuesta #4

delmar

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Sí, es que las expresiones Landau tienen la propiedad \( o(g(x))=g(x)o(1), \ x\rightarrow{0} \) y por su definición \( \lim_{x \to{}0}{\frac{o(h(x))}{h(x)}}=0 \) entonces \( \lim_{x \to{}0}{o(1)}=... \)

31 Agosto, 2020, 11:49 pm
Respuesta #5

africamer

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Sí, es que las expresiones Landau tienen la propiedad \( o(g(x))=g(x)o(1), \ x\rightarrow{0} \) y por su definición \( \lim_{x \to{}0}{\frac{o(h(x))}{h(x)}}=0 \) entonces \( \lim_{x \to{}0}{o(1)}=... \)
¿Esto quiere decir que siempre que el límite tienda a donde el desarrollo de Taylor está centrado, el error se hace cero? De esta manera puedo desarrollar "impunemente" taylor en los límites...