Autor Tema: Valor de una función en 0 (verdadero/falso)

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31 Agosto, 2020, 12:34 am
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africamer

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Francamente no sé como enfrentarme a este problema... ¿alguna ayuda?
¿Es verdadero que si \[ f(\pi)=2 \] y \( \displaystyle\int_{0}^{\pi}(f(x)+f''(x))\sen(x)dx = 5 \) entonces \( f(0)=5 \) ?

31 Agosto, 2020, 08:56 am
Respuesta #1

geómetracat

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Una pista: separa la integral en dos así:
\[ \int_0^\pi f(x)\sin(x)dx + \int_0^\pi f''(x)\sin(x)dx  \]
e integra cada una por partes. Si tomas las partes adecuadas en cada integral se te cancelarán las integrales resultantes de hacer partes y podrás resolver el ejercicio.

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Agosto, 2020, 02:24 pm
Respuesta #2

africamer

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Una pista: separa la integral en dos así:
\[ \int_0^\pi f(x)\sin(x)dx + \int_0^\pi f''(x)\sin(x)dx  \]
e integra cada una por partes. Si tomas las partes adecuadas en cada integral se te cancelarán las integrales resultantes de hacer partes y podrás resolver el ejercicio.



Gracias, procediendo de esta manera obtuve que:
Spoiler
Es falso, debería ser \( f(0) = -3 \)
[cerrar]

31 Agosto, 2020, 02:30 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Tengo una duda más bien formal sobre cómo justificar que tal resultado es verdadero o falso.

¿No es que si llego a un resultado distinto del esperado, eso no asegura nada acerca de la veracidad o falsedad de lo que tenía que ver?

En ese caso, creo que la forma correcta sería poniendo un contraejemplo. Pero sólo si fuera falso, si fuera verdadero hay que demostrarlo en forma genérica para cualquier función. ¿Cómo lo ven?

Gracias y saludos

31 Agosto, 2020, 03:27 pm
Respuesta #4

geómetracat

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A mí me sale \( f(0)=3 \). En cualquier caso es falso.

manooooh, hombre, si te preguntan si \( f(0)=5 \) y operando llegas a que \( f(0)=3 \), está claro que es falso que \( f(0)=5 \).

Siendo muy puntillosos, lo que sí podría pasar es que no existiera ninguna función \( f \) tal que esa integral fuera \( 5 \) y cumpliera \( f(\pi)=2 \). Podrías dedicarte a ver si existe una función así (sí que existe y además se ve muy fácilmente en el proceso de resolver el ejercicio, porque esa integral es \( f(\pi)+f(0) \)), pero queda fuera de lo que piden en el ejercicio.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Agosto, 2020, 03:31 pm
Respuesta #5

manooooh

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Aclaro. Muchas gracias.

Saludos