Autor Tema: Anillo cociente

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29 Agosto, 2020, 07:45 pm
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Maekvor

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Buenas. Me gustaría saber cómo puedo calcular los elementos del anillo cociente: \( A=\mathbb{Z[i]}/I \) donde \( I=(1+2i) \) ideal de \( A \).
Analizando el anillo cociente, he visto que es cuerpo. Pues \( 1+2i \) es irreducible, y como \( \mathbb{Z[i]} \) es dominio de ideales principales, tengo una proposición que me dice que es equivalente elemento irreducible a ideal maximal. Luego \( I=(1+2i) \) es ideal maximal, y por tanto, \( A \) es cuerpo.
Luego pensé en que igual si probaba que \( 1_\mathbb{Z[i]}=1 \)\( \in{I} \) entonces, \( I=A \) y así podría concluir que \( \mathbb{Z[i]}/I=\mathbb{Z[i]} \). Pero al analizarlo, me salió que \( 1\not\in\mathbb{}I \). También probé con las otras unidades de \( \mathbb{Z[i]} \) pero ninguna está en el ideal. Entonces no sé de qué forma puedo calcular los elementos del anillo cociente  :-\

30 Agosto, 2020, 12:14 am
Respuesta #1

geómetracat

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No puede ser \( A=Z[i] \) porque \( Z[i] \) no es un cuerpo.
De hecho, se tiene que \( A \) es isomorfo a \( \Bbb Z/(5) \). Para verlo, es interesante observar primero que \( 5 = (1-2i)(1+2i) \in I \), luego \( 5=0 \) en \( A \). Además, \( i -2 = i(1+2i) \in I \), luego \( i=2 \) en \( A \).
Teniendo esto en cuenta puedes ver que el morfismo de anillos \( \phi:\Bbb Z[i] \to \Bbb Z/(5) \) definido por \( \phi(a+bi) = a+2b \) induce un isomorfismo \( A \cong \Bbb Z/(5) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Agosto, 2020, 08:26 am
Respuesta #2

Maekvor

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Muchas gracias por tu respuesta. Pero tengo dos preguntas:
1. ¿Qué se consigue al establecer dicho isomorfismo? Significa que analizar los elementos de \( \mathbb{Z}/(5) \) es lo mismo que analizar \( A \)?
2. ¿Hay alguna forma de probar de forma rápida que efectivamente es isomorfismo? ¿O habría que hacerlo por la definición? Pregunto esto ya que la profesora siempre nos dice que hay que probarlo y no solo establecer un supuesto isomorfismo.
Gracias de nuevo.

30 Agosto, 2020, 09:25 am
Respuesta #3

geómetracat

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1. ¿Qué se consigue al establecer dicho isomorfismo? Significa que analizar los elementos de \( \mathbb{Z}/(5) \) es lo mismo que analizar \( A \)?
Sí. Si tienes un isomorfismo en cierta manera ya sabes todo lo que hay que saber sobre \( A \). Por ejemplo, puedes decir que el anillo cociente \( A \) tiene \( 5 \) elementos (clases de equivalencia distintas) y que representantes de cada una de esas clases son: \( 0,1,2,3,4 \) (porque cada uno de esos elementos va a un elemento distinto de \( \Bbb Z/(5) \) por el isomorfismo). También puedes ver a qué clase corresponde cada elemento de \( \Bbb Z[i] \)  en el cociente \( A \). Por ejemplo, como \( \phi(3+5i)=3+10=13=3=\phi(3) \), sabes que la clase de \( 3+5i \) módulo \( I \) es la misma que la de \( 3 \).
Finalmente, el isomorfismo te dice cómo sumar y multiplicar clases de \( A \) (si tomas como representantes de las clases de \( A \) los elementos \( 0,1,2,3,4 \) la suma y el producto funcionan igual que en \( \Bbb Z/(5) \).

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2. ¿Hay alguna forma de probar de forma rápida que efectivamente es isomorfismo? ¿O habría que hacerlo por la definición? Pregunto esto ya que la profesora siempre nos dice que hay que probarlo y no solo establecer un supuesto isomorfismo.

Sí, por supuesto que hay que demostrarlo. Para verlo de forma rápida primero observa que \( \phi:\Bbb Z[i] \to \Bbb Z/(5) \) es un morfismo de anillos exhaustivo (esto es una comprobación rápida y sencilla).
Entonces, el primer teorema de isomorfía te dice que \( \tilde{\phi}: \Bbb Z[i]/Ker(\phi) \to \Bbb Z/(5) \) es un isomorfismo.
Así pues, lo único que hay que probar es que \( Ker(\phi)=(1+2i) \).

Para ver esto, fíjate que la inclusión \( (1+2i) \subseteq Ker(\phi) \) es clara ya que \( \phi(1+2i)=1+4=5=0 \).
Pero \( (1+2i) \) es un ideal maximal, y por tanto \( Ker(\phi)=(1+2i) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Agosto, 2020, 10:30 am
Respuesta #4

Maekvor

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Perfecto. Muchas gracias por tu ayuda. Me ha quedado superclaro ^^

09 Septiembre, 2020, 06:18 pm
Respuesta #5

Maekvor

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No puede ser \( A=Z[i] \) porque \( Z[i] \) no es un cuerpo.
De hecho, se tiene que \( A \) es isomorfo a \( \Bbb Z/(5) \). Para verlo, es interesante observar primero que \( 5 = (1-2i)(1+2i) \in I \), luego \( 5=0 \) en \( A \). Además, \( i -2 = i(1+2i) \in I \), luego \( i=2 \) en \( A \).
Teniendo esto en cuenta puedes ver que el morfismo de anillos \( \phi:\Bbb Z[i] \to \Bbb Z/(5) \) definido por \( \phi(a+bi) = a+2b \) induce un isomorfismo \( A \cong \Bbb Z/(5) \).

Estaba estudiando de nuevo esto, y quería saber cómo dedujiste esto:
\( i -2 = i(1+2i) \in I \), luego \( i=2 \) en \( A \).

09 Septiembre, 2020, 06:27 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Estaba estudiando de nuevo esto, y quería saber cómo dedujiste esto:
\( i -2 = i(1+2i) \in I \), luego \( i=2 \) en \( A \).

Mmm, no me queda claro qué es lo que no entiendes de ahí. La primera igualdad es puro cálculo. Que \( i(1+2i) \in I \) es porque \( I=(1+2i) \) (es decir, que \( I \) está formado por todos los elementos de la forma \( x(1+2i) \) con \( x \in \Bbb Z[i] \)). Finalmente, lo de que \( i=2 \) en \( A \) es porque \( i-2 \in I \) quiere decir que \( [i-2] = [0] \) en el anillo cociente \( A \) (los corchetes representan clase de equivalencia), y por tanto que \( [i]=[2] \) en \( A \). En el anterior mensaje hice un abuso de notación omitiendo los corchetes de la clase de equivalencia.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

09 Septiembre, 2020, 06:32 pm
Respuesta #7

Maekvor

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Ah, vale, sí perdona. Ya lo entendí. Gracias^^

09 Septiembre, 2020, 06:34 pm
Respuesta #8

Maekvor

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Pero,¿ i no podría también tener otros valores? Quiero decir
Yo sé que \( 1+2i\in{I} \) luego \( 1+2i=0 \) si y solo si: \( i=-1/2 \).
¿O es que el valor de i tiene que estar en los enteros?

09 Septiembre, 2020, 06:59 pm
Respuesta #9

Maekvor

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No puede ser \( A=Z[i] \) porque \( Z[i] \) no es un cuerpo.
De hecho, se tiene que \( A \) es isomorfo a \( \Bbb Z/(5) \). Para verlo, es interesante observar primero que \( 5 = (1-2i)(1+2i) \in I \), luego \( 5=0 \) en \( A \). Además, \( i -2 = i(1+2i) \in I \), luego \( i=2 \) en \( A \).
Teniendo esto en cuenta puedes ver que el morfismo de anillos \( \phi:\Bbb Z[i] \to \Bbb Z/(5) \) definido por \( \phi(a+bi) = a+2b \) induce un isomorfismo \( A \cong \Bbb Z/(5) \).
Por cierto, la aplicación que propusiste me sale que no es inyectiva, y por ende no es isomorfismo.
Por ejemplo:
\( 2+3i\neq4+2i \) y, sin embargo, tienen la misma imagen: \( [3]_5 \)

09 Septiembre, 2020, 07:11 pm
Respuesta #10

geómetracat

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Tiene que estar en los enteros porque estás trabajando en el anillo \( \Bbb Z[i] \). Lo que sí puedes decir es lo siguiente: en tu anillo cociente \( A \) tienes que \( 1+2i=0 \) (trabajaré sin poner explícitamente clases de equivalencia). Por tanto, \( 2i = -1 \), y \( i = -2^{-1} \). Pero cuidado: aquí \( 2^{-1} \) es el inverso de \( 2 \) en el anillo \( A \), que no tiene nada que ver con el número real o complejo \( 1/2 \). Usando la descripción del isomorfismo con \( \Bbb Z/(5) \) se ve que el inverso de \( 2 \) en \( A \) es (la clase de) \( 3 \). Por tanto, tienes que \( i=-2^{-1} = -3 = 2 \), y hemos recuperado el mismo resultado.

Si quieres ver explícitamente que en este anillo \( 2^{-1}=3 \), fíjate que \( 2\cdot 3 = 6 = 1+5 = 1 + (1-2i)(1+2i) = 1 \) en \( A \).

Por cierto, la aplicación que propusiste me sale que no es inyectiva, y por ende no es isomorfismo.
Por ejemplo:
\( 2+3i\neq4+2i \) y, sin embargo, tienen la misma imagen: \( [3]_5 \)

Es que la que es un isomorfismo no es \( \phi \) (¡por supuesto que \( \Bbb Z[i] \) no es isomorfo a \( \Bbb Z/(5) \)! por ejemplo, el primero es infinito y el segundo tiene cinco elementos), sino que \( \phi \) induce un isomorfismo \( \hat{\phi}:A \to \Bbb Z/(5) \). Es lo que te puse después: \( \phi \) es exhaustiva, luego por el primer teorema de isomorfía  \( \hat{\phi}:\Bbb Z[i]/Ker(\phi) \to \Bbb Z/(5) \) es un isomorfismo, pero ya vimos que \( Ker(\phi) = I \), luego \( \Bbb Z[i]/Ker(\phi) = A \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

09 Septiembre, 2020, 09:04 pm
Respuesta #11

Maekvor

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¡Ah claro, entiendo!
El ejercicio también me pedía ver la característica de \( A \) y puse que era 5 porque \( Ker(ϕ)=(5) \) ¿Estoy en lo cierto?
También me pide calcular un polinomio en \( A[x] \) que sea de grado 3, con al menos dos términos y no irreducible.
Como yo se que \( A \) es isormofo a \( \mathbb{Z}_5 \) entonces: ¿\( A[x] \) es isomorfo a \( \mathbb{Z}_5[x] \) porque de esta forma creo que sabría dar un polinomio, si no, no se me ocurre cómo pueden ser los polinomios de \( A \)

09 Septiembre, 2020, 09:21 pm
Respuesta #12

geómetracat

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¡Ah claro, entiendo!
El ejercicio también me pedía ver la característica de \( A \) y puse que era 5 porque \( Ker(ϕ)=(5) \) ¿Estoy en lo cierto?

\( Ker(\phi)=(1+2i) \), no \( (5) \). Pero en cualquier caso, si \( A \) es isomorfo a \( \Bbb Z/(5) \) que tiene característica \( 5 \), luego \( A \) tiene característica \( 5 \). Una forma equivalente de verlo es ver que \( 5=0 \) pero \( 2,3 \neq 0 \) en \( A \).

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También me pide calcular un polinomio en \( A[x] \) que sea de grado 3, con al menos dos términos y no irreducible.
Como yo se que \( A \) es isormofo a \( \mathbb{Z}_5 \) entonces: ¿\( A[x] \) es isomorfo a \( \mathbb{Z}_5[x] \) porque de esta forma creo que sabría dar un polinomio, si no, no se me ocurre cómo pueden ser los polinomios de \( A \)

Sí, en efecto. Puedes proceder como dices.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)