Autor Tema: Dominio euclídeo con norma N

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29 Agosto, 2020, 04:53 pm
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lmao

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Sea $$R$$ un dominio euclídeo con norma $$N$$, y sean $$a,b\in R^*$$. Si $$b$$ no es invertible, demostrar que $$N(a)<N(ab)$$

Lo que he pensado es

$$N(ab)=N(a)*N(b)>N(a)$$ ya que por definición de norma $$N(b)>0$$

pero me asalta la duda de que pasa si $$N(b)<1$$

29 Agosto, 2020, 11:16 pm
Respuesta #1

geómetracat

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La norma es por definición un entero no negativo, asi que si \( b \neq 0 \) tienes que \( N(b) \geq 1 \). Lo único que tienes que probar es que si \( b \) no es invertible entonces \( N(b) \neq 1 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Septiembre, 2020, 12:47 pm
Respuesta #2

pseudo matematico

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Buenas, yo enfoqué dicha demostración por otro camino

Por las propiedades de norma tenemos que $$N(a)\leq{}N(ab)$$, por reducción al absurdo supongamos que $$N(a)=N(ab)$$.
Sabemos que para $$a, ab\in R$$ existen $$q,r\in R$$ tales que $$a=abq+r$$
  • si $$r=0$$ tendríamos que $$a=abq$$ de donde $$bq=1$$ y por lo tanto $$b$$ sería invertible lo cual es una contradicción.
  • si $$r\not=0$$ entonces $$r=a-abq=a(1-bq)$$. Por definición de norma debe ser $$N(r)<N(ab)$$ que es igual a $$N(a(1-bq))<N(ab)=N(a)$$ lo cual es imposible ya que $$N(a)\leq{}N(a(1-bq))$$

01 Septiembre, 2020, 01:28 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Lo veo bien.
Acaba siendo más o menos lo mismo que te indicaba (ver que si \( N(b)=1 \) entonces \( b \) es invertible), pero con \( a \)'s de por medio.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)