Autor Tema: Estudia conv. \(\int_{0}^{\infty}x^{\alpha}\frac{x+\sen(x)}{x-\sen(x)}dx\)

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01 Septiembre, 2020, 07:12 pm
Respuesta #20

Buscón

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De una manera más formal. Lo que afirma el autor en la solución es que

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{x^{\alpha}}=\lim_{x \to{0}}{\left(x^\alpha\cdot{\frac{x+\sen(x)}{x-\sen(x)}}\right)}\Rightarrow{\lim_{t \to{0}}{\left(\int_{t}^{1}x^{\alpha}\cdot{dx}\right)}=\lim_{t \to{0}}{\left(\int_{t}^{1}x^{\alpha}\cdot{\frac{x+\sen(x)}{x-\sen(x)}}\cdot{dx}\right)}} \)

¿Esto es posible generalizarlo?

¿\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}\Rightarrow{\lim_{t \to{a}}{\int_{t}^{b}}f(x)\cdot{dx}=\lim_{t \to{a}}{\int_{t}^{b}}g(x)\cdot{dx}} \)

para cualesquiera dos funciones    \( f \)     y    \( g \)    integrables en    \( [a,b] \)?


01 Septiembre, 2020, 08:36 pm
Respuesta #21

Buscón

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Pensando un poco, sean    \( f \)    y    \( g \)    dos funciones positivas continuas en    \( (a,b] \)    e integrables en    \( [a,b] \)   \(  (b\neq\pm{}\infty) \)    tales que

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}\Rightarrow{\frac{\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}}{\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}}}=1 \),

entonces, existen    \( m \)    y    \( M \)    verificando    \( m<\frac{\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}}{\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}}<M \)    de donde

\( \displaystyle m\cdot{\lim_{x \to{a}}{g(x)}}<\lim_{x \to{a}}{f(x)}<M\cdot{\lim_{x \to{a}}{g(x)}} \)

\( \displaystyle m\cdot{g(x)}<f(x)<M\cdot{}g(x) \),       \( (x\rightarrow{a}) \)

y es posible aplicar el Criterio de comparación.

Esto no es más que un caso particular del Criterio límite de comparación que sí está demostrado y es lo que usa el autor en su solución.

Saludos y disculpen la torpeza.

02 Septiembre, 2020, 01:18 am
Respuesta #22

Buscón

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Pongo la solución un poco más extendida y un poco a mi manera. No tiene mucho mérito una vez vista pero quizás le sea útil a alguien.

Sea    \( f(x)=x^{\alpha}\cdot{\dfrac{x+\sen(x)}{x-\sen(x)}} \).

Una vez sabido que    \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{f(x)}=\lim_{x \to{0}}{x^{\alpha-2}}=0 \)    y    \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=\lim_{x \to{+}\infty}{x^{\alpha}}=+\infty \),    (son equivalentes asintóticamente, aplicable el Criterio límite de comparación), lo que me resulta bastante complicado si no se tiene grabado en la memoria, hay que darse cuenta, usando que son funciones positivas definidas en    \( \mathbb{R^+} \),    que deben existir números positivos    \( m_0,M_\infty \)    y     \( x_0,x_\infty \)    verificando

\( m_\infty<\frac{f(x)}{x^{\alpha}}<M_\infty \)       si \( x>x_\infty \)    y    \( m_0<\frac{f(x)}{x^{\alpha-2}}<M_0 \)       si \( x<x_0 \),

de donde

\( m_\infty\cdot{x^{\alpha}}<f(x)<M_\infty\cdot{x^{\alpha}} \)    y    \( m_0\cdot{x^{\alpha-2}}<f(x)<M_0\cdot{x^{\alpha-2}} \),    si \( x>x_\infty \)   respec.  \( x<x_0 \),

y por el Criterio de comparación,

\( \displaystyle\int_{x_\infty}^{+\infty}f(x)\cdot{dx}<M_\infty\cdot{}\int_{x_\infty}^{+\infty}x^{\alpha}\cdot{dx} \)       e       \( \displaystyle\int_{0}^{x_0}f(x)\cdot{dx}<M_0\cdot{\int_{0}^{x_0}x^{\alpha-2}}\cdot{dx} \).

Ahora, echando mano otra vez de esos datos de la memoria que yo no tengo aunque son fáciles de comprobar, (sobre todo con un programa informático), resulta que la    \( \displaystyle\int_{x_\infty}^{+\infty}x^{\alpha}\cdot{dx} \)    sólo converge para    \( \alpha<-1 \)    y la integral    \( \displaystyle\int_{0}^{x_0}x^{\alpha-2}\cdot{dx} \)    sólo converge para    \( \alpha>1 \).

El Criterio de comparación dice entonces que    \( f(x) \)    no puede converger en ningún caso.

Este ejercicio es de esos que hacen historia y esos "datos de la memoria" no deberían olvidarse jamás.

Saludos.