Autor Tema: Demostrando que un conjunto es un V espacio vectorial

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

29 Agosto, 2020, 02:31 am
Leído 177 veces

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,446
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola GENTE!! un gran saludo a todos.
Me solicitan analizar si \( (V,\oplus{},\otimes{}) \) siendo \( V=\{(x,y) \in{}\mathbb{R}^2 \textrm{ con } x\geq{0} , y\geq{0}\} \) con las operaciones \( (x,y)\oplus{(a,b)=(xa; yb)} \) y  \( \alpha \otimes{} (x,y)=\left(x^{\alpha}, y^{\alpha} \right) \) \( \alpha \in{}\mathbb{R}^2 \) es un espacio vectorial.

Es una duda acerca del procedimiento, más que nada

Estoy probando el axioma para la suma, es decir, debo probar que  \( \forall{\vec{u}\in{V}},\exists{\vec{0}}\in{V} \) tal que \( \vec{0}\oplus{\vec{u}}=\vec{u}\oplus{\vec{0}}=\vec{u} \)

Sea \( \vec{u}=(u_1,u_2) \) tal que \( \vec{u}\in{V} \) ySupongo que  \( \vec{0}=(a,b) \) con \( a, b \in{\mathbb{R}} \)

Si es el neutro deberá verificar \( \vec{u}\oplus{\vec{0}}=\vec{u} \)  y  \( \vec{0}\oplus{\vec{u}}=\vec{u} \) 

Bien solo trabajare con una de las partes (pues no viene al caso para la duda plantear ambos)

\( \vec{u}\oplus{\vec{0}}=\vec{u} \)

\( (u_1,u_2) \oplus{ (a,b)}=(u_1,u_2)\Longleftrightarrow{(a \cdot u_1  , b \cdot u_2)}=(u_1,u_2) \) que por definición de igualdad de vectores nos permite afirmar que

\( a \cdot u_1=u_1\underbrace{\Longleftrightarrow}_{u_1\neq 0}{a=1} \) y \( b \cdot u_2=u_2\underbrace{\Longleftrightarrow}_{u_2\neq 0}{b=1} \)

Luego podemos ver que \( \forall{\vec{u}\in{V}} \) tal que \( u_1\neq 0 \) o \( u_2 \neq 0 \) el elemento neutro es \( (1,1) \)

Ahora, he analizado para ver que pasa para los casos en que \( \vec{u}=\begin{cases}(u_1,0)\\ (u_2,0)\\ (0,0)\end{cases} \). Y el elemento neutro es para todo \( \vec{u} \in{V} \) el vector \( \vec{(1,1)} \)

Dejo la duda puntual en rojo. 
¿es realmente necesario realizar el análisis de estos tres casos particulares? pues el elemento neutro hallado, es sólo para determinados casos.

O a partir del teorema que dice que el neutro de un espacio vectorial es unico, no es necesario?

Muchas Gracias



29 Agosto, 2020, 07:36 am
Respuesta #1

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,223
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Me solicitan analizar si \( (V,\oplus{},\otimes{}) \) siendo \( V=\{(x,y) \in{}\mathbb{R}^2 \textrm{ con } x\geq{0} , y\geq{0}\} \) con las operaciones \( (x,y)\oplus{(a,b)=(xa; yb)} \) y  \( \alpha \otimes{} (x,y)=\left(x^{\alpha}, y^{\alpha} \right) \) \( \alpha \in{}\mathbb{R}\color{red} ^2 \) es un espacio vectorial.

Me parece que tienes una errata en el enunciado. El 2 en rojo sobra, ¿verdad?

En estos problemas lo que normalmente se espera que demuestres es que el conjunto cumple la definición de espacio vectorial, es decir:

1. Si \( u, v\in{V} \) entonces \( u\oplus{}v\in{V} \).
2. Si \[ u\in{V} \] y \[ \alpha \in{\mathbb{R}} \] entonces \( \alpha \otimes{}u\in{V} \)

¿Cómo ves esto?

Un saludo.

29 Agosto, 2020, 09:02 pm
Respuesta #2

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,164
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola nktclau

En efecto como dice martiniano hay una errata es \( \alpha\in{R} \), respecto a la interrogante la respuesta es , primero se ha demostrado que \( \forall{\vec{u}=(u_1,u_2)} \ / \ u_1\neq 0 \ \wedge u_2 \neq 0, \ \vec{u}\oplus{(1,1)}=\vec{u} \),  luego recién, al demostrar que \( \forall{\vec{u}=(u_1,u_2)} \ / \ u_1=0 \vee u_2=0, \ \vec{u}\oplus{(1,1)}=\vec{u} \) se llega a la conclusión que existe un elemento neutro aditivo y este es (1,1). Respecto al teorema que mencionas no lo puedes aplicar, por que todavía no se ha demostrado que V es un espacio vectorial.

En este caso para demostrar que V es un espacio lineal, se ha de averiguar si cumple cada uno de los axiomas, es decir todos los axiomas, a priori no se sabe si \( R^2 \) es un espacio lineal respecto a las operaciones \( \oplus{},\otimes{} \), no son las clásicas (suma de vectores, producto de un vector por un escalar).


Saludos

29 Agosto, 2020, 10:38 pm
Respuesta #3

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,223
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

En este caso para demostrar que V es un espacio lineal, se ha de averiguar si cumple cada uno de los axiomas, es decir todos los axiomas

Tienes razón. Se deberían verificar bastantes más axiomas para ambas operaciones. Me confundí.

Un saludo.

29 Agosto, 2020, 10:46 pm
Respuesta #4

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,374
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola nktclau

¿es realmente necesario realizar el análisis de estos tres casos particulares? pues el elemento neutro hallado, es sólo para determinados casos.

O a partir del teorema que dice que el neutro de un espacio vectorial es unico, no es necesario?

Muchas Gracias


A parte de lo que te ha respondido delmar al respecto, realmente no estas probando la unicidad, estas probando que  todos los vectores tienen elemento neutro y esto es fundamental (por que en principio no sabes si todos los vectores tienen elemento neutro), la unicidad es una propiedad del elemento neutro que se deduce de las otras propiedades del grupo conmutativo.
Lo que si es cierto, es que si al comprobar que todo elemento del conjunto tiene elemento neutro te diera que no es único, entonces debes concluir que no es un espacio vectorial.
Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

30 Agosto, 2020, 11:04 pm
Respuesta #5

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,446
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola, MUCHISIMAS GRACIAS  martiniano, Delmar y robinlambada por sus respuestas y aclaraciones antes que nada!  ;)

Hola.

Me solicitan analizar si \( (V,\oplus{},\otimes{}) \) siendo \( V=\{(x,y) \in{}\mathbb{R}^2 \textrm{ con } x\geq{0} , y\geq{0}\} \) con las operaciones \( (x,y)\oplus{(a,b)=(xa; yb)} \) y  \( \alpha \otimes{} (x,y)=\left(x^{\alpha}, y^{\alpha} \right) \) \( \alpha \in{}\mathbb{R}\color{red} ^2 \) es un espacio vectorial.

Me parece que tienes una errata en el enunciado. El 2 en rojo sobra, ¿verdad?

Volví a revisar, por las dudas, y si me equivoqué yo al copiar  :banghead: :banghead: :banghead: efectivamente es \( \alpha \in{ }\mathbb{R} \) :-\

MILLON DE GRACIAS han respondidos más dudas de las que plantee.
Como siempre, un placer pertencer al foro!!  :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso:
GRACIAS!!

31 Agosto, 2020, 08:51 am
Respuesta #6

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,223
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Sólo una pregunta-observación más.

Al no estar definido el resultado de \( 0\otimes{(0,0)} \) no está bien definido el producto por escalar y ya hemos acabado, ¿verdad?

Un saludo.

31 Agosto, 2020, 09:15 am
Respuesta #7

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,710
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Sólo una pregunta-observación más.

Al no estar definido el resultado de \( 0\otimes{(0,0)} \) no está bien definido el producto por escalar y ya hemos acabado, ¿verdad?

Un saludo.

Sí, es un punto que no está muy claro. Para intentar salvarlo se podría tomar el convenio de \( 0^0=1 \). Pero aún así no sería espacio vectorial, porque \( (V, \oplus) \) no es un grupo, ya que los elementos de la forma \( (0,a) \) no tienen opuesto.

Quizás el ejercicio quería poner \( V = \{ (x,y) \in \Bbb R^2 \mid x,y>0 \} \), ya que con este \( V \) sí es un espacio vectorial (isomorfo al \( \Bbb R^2 \) usual vía \( (x,y) \mapsto (\log(x), \log(y)) \)).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)