Hola GENTE!! un gran saludo a todos.
Me solicitan analizar si \( (V,\oplus{},\otimes{}) \) siendo \( V=\{(x,y) \in{}\mathbb{R}^2 \textrm{ con } x\geq{0} , y\geq{0}\} \) con las operaciones \( (x,y)\oplus{(a,b)=(xa; yb)} \) y \( \alpha \otimes{} (x,y)=\left(x^{\alpha}, y^{\alpha} \right) \) \( \alpha \in{}\mathbb{R}^2 \) es un espacio vectorial.
Es una duda acerca del procedimiento, más que nada
Estoy probando el axioma para la suma, es decir, debo probar que \( \forall{\vec{u}\in{V}},\exists{\vec{0}}\in{V} \) tal que \( \vec{0}\oplus{\vec{u}}=\vec{u}\oplus{\vec{0}}=\vec{u} \)
Sea \( \vec{u}=(u_1,u_2) \) tal que \( \vec{u}\in{V} \) ySupongo que \( \vec{0}=(a,b) \) con \( a, b \in{\mathbb{R}} \)
Si es el neutro deberá verificar \( \vec{u}\oplus{\vec{0}}=\vec{u} \) y \( \vec{0}\oplus{\vec{u}}=\vec{u} \)
Bien solo trabajare con una de las partes (pues no viene al caso para la duda plantear ambos)
\( \vec{u}\oplus{\vec{0}}=\vec{u} \)
\( (u_1,u_2) \oplus{ (a,b)}=(u_1,u_2)\Longleftrightarrow{(a \cdot u_1 , b \cdot u_2)}=(u_1,u_2) \) que por definición de igualdad de vectores nos permite afirmar que
\( a \cdot u_1=u_1\underbrace{\Longleftrightarrow}_{u_1\neq 0}{a=1} \) y \( b \cdot u_2=u_2\underbrace{\Longleftrightarrow}_{u_2\neq 0}{b=1} \)
Luego podemos ver que \( \forall{\vec{u}\in{V}} \) tal que \( u_1\neq 0 \) o \( u_2 \neq 0 \) el elemento neutro es \( (1,1) \)
Ahora, he analizado para ver que pasa para los casos en que \( \vec{u}=\begin{cases}(u_1,0)\\ (u_2,0)\\ (0,0)\end{cases} \). Y el elemento neutro es para todo \( \vec{u} \in{V} \) el vector \( \vec{(1,1)} \)
Dejo la duda puntual en rojo.
¿es realmente necesario realizar el análisis de estos tres casos particulares? pues el elemento neutro hallado, es sólo para determinados casos.
O a partir del teorema que dice que el neutro de un espacio vectorial es unico, no es necesario?
Muchas Gracias
