Autor Tema: Homeomorfismo.

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28 Agosto, 2020, 06:30 am
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Hauss

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Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( I=[0,1] \subseteq \mathbb{R} \) y \( \sim \) es la relación de equivalencia \( x \sim x´  \) si y sólo si \( \{x,x´\}=\{0,1\} \) o \( x=x´ \) entonces \( I/ \sim \) es homeomorfo a \( S^{1}=\{x \in \mathbb{R^{2}} \ : ||x||=1 \} \)

Lo que he hecho ha sido identificar a \( \mathbb{R^{2}} \) con el plano complejo y utilizar la función \( f(x)=e^{2 i \pi x} \), la cuál me parece que funciona como homeomorfismo, en lo que tengo duda es, esta función es casi biyectiva, a excepción de que \( f(1)=f(0) \), pero me parece que con la relación de equivalente lo que nos dice es que \( [0]=[1] \) y entonces con esto ya se convierte en una función continua, biyectiva y con inversa continua. ¿Me podrían decir si es esto correcto por favor?

De antemano, gracias.

28 Agosto, 2020, 08:32 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( I=[0,1] \subseteq \mathbb{R} \) y \( \sim \) es la relación de equivalencia \( x \sim x´  \) si y sólo si \( \{x,x´\}=\{0,1\} \) o \( x=x´ \) entonces \( I/ \sim \) es homeomorfo a \( S^{1}=\{x \in \mathbb{R^{2}} \ : ||x||=1 \} \)

Lo que he hecho ha sido identificar a \( \mathbb{R^{2}} \) con el plano complejo y utilizar la función \( f(x)=e^{2 i \pi x} \), la cuál me parece que funciona como homeomorfismo, en lo que tengo duda es, esta función es casi biyectiva, a excepción de que \( f(1)=f(0) \), pero me parece que con la relación de equivalente lo que nos dice es que \( [0]=[1] \) y entonces con esto ya se convierte en una función continua, biyectiva y con inversa continua. ¿Me podrían decir si es esto correcto por favor?

De antemano, gracias.

Sí, se tiene que \( [0]=[1] \), ahora deberías utilizar las propiedades de la topología cociente para demostrar que la función inducida \( \tilde f: I/{\sim} \to S^1,\, [t]\mapsto e^{i2\pi t} \) está bien definida y es un homeomorfismo.

28 Agosto, 2020, 08:45 am
Respuesta #2

Hauss

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Muchas gracias por la primer respuesta, tengo una duda, cuando mencionas lo de la topología cociente, ¿a qué te refieres? ¿Cómo se haria eso?

28 Agosto, 2020, 09:56 am
Respuesta #3

Masacroso

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Muchas gracias por la primer respuesta, tengo una duda, cuando mencionas lo de la topología cociente, ¿a qué te refieres? ¿Cómo se haria eso?

A ver, para demostrar que dos espacios son homeomorfos necesitas que ambos sean espacios topológicos, por eso el espacio \( I/{\sim} \) tiene que tener una topología. Si no se especifica otra cosa se asume que el espacio tiene la topología cociente que se define como la topología más pequeña fina que hace que la proyección canónica \( \pi:I\to I/{\sim},\, x\mapsto [x] \) sea continua.

Me parece sumamente extraño que te hayan pedido demostrar que \( I/{\sim}\cong S^1 \) sin haberte explicado la topología cociente, de otro modo ¿cómo se puede probar que dos espacios son homeomorfos si uno de ellos carece de una topología?

Corregido.

28 Agosto, 2020, 11:07 pm
Respuesta #4

Hauss

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Me parece sumamente extraño que te hayan pedido demostrar que \( I/{\sim}\cong S^1 \) sin haberte explicado la topología cociente, de otro modo ¿cómo se puede probar que dos espacios son homeomorfos si uno de ellos carece de una topología?
Muchas gracias, bueno la forma en que me han explicado sobre como probar que dos espacios son homeomorfos es si existe una función continua, biyectiva y con inversa continua entre ellos, es lo único que me han dicho, este ejercicio nos dijeron que era "introductorio a la topología cociente", apenas estamos viendo lo que esta es.

28 Agosto, 2020, 11:59 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Me parece sumamente extraño que te hayan pedido demostrar que \( I/{\sim}\cong S^1 \) sin haberte explicado la topología cociente, de otro modo ¿cómo se puede probar que dos espacios son homeomorfos si uno de ellos carece de una topología?
Muchas gracias, bueno la forma en que me han explicado sobre como probar que dos espacios son homeomorfos es si existe una función continua, biyectiva y con inversa continua entre ellos, es lo único que me han dicho, este ejercicio nos dijeron que era "introductorio a la topología cociente", apenas estamos viendo lo que esta es.

Claro, pero la noción de continuidad depende de dos topologías: la del dominio de la función y la del codominio, por lo que estamos en las mismas.