Autor Tema: Dependencia lineal

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28 Agosto, 2020, 12:54 am
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Steven_Math

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Buenas, he estado realizando el siguiente ejercicio:

Sean  \( \vec{u}=\begin{pmatrix}  {u_1}   \\  {u_2}   \\    {u_3}  \end{pmatrix}   \) y \( \vec{v}=\begin{pmatrix}  {v_1}   \\  {v_2}   \\    {v_3}  \end{pmatrix}   \)
si
                                                      \(  \) \( u_2v_3=v_2u_3, \ u_1v_3=v_1u_3 \ \text{y} \ u_1v_2=v_1u_2  \)

Demuestre que \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son linealmente dependientes.


Para demostrarlo tomé varios casos.
 
  • Si  \( v_k=0  \) para cada \( k=1,2,3 \), el resultado es inmediato ya que \( \vec{v}=0\vec{u} \) 
  • Si \( v_k\neq 0  \) para cada \( k=1,2,3 \), entonces por la hipótesis pasando a dividir los \( v_k   \) obtendriamos que 

                                                 \( \dfrac{u_3}{v_3}=\dfrac{u_2}{v_2}=\dfrac{u_1}{v_1} \)

    por tanto \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son linealmente dependientes ya que sus componentes son proporcionales.
     
  • Si \( v_1=0   \) y \( v_2,v_3\neq 0   \)
  • Si \(  v_1=v_2=0   \) y \( v_3\neq 0   \)
   
En estos últimos dos casos no he podido concluir (creo que no habrían más casos, ya que los demás salen análogos.), les agradezco su gran ayuda para concluir en los casos que me hacen falta,
Saludos.

28 Agosto, 2020, 02:01 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

...
  • Si \( v_k\neq 0  \) para cada \( k=1,2,3 \), entonces por la hipótesis pasando a dividir los \( v_k   \) obtendríamos que 

                                                 \( \dfrac{u_3}{v_3}=\dfrac{u_2}{v_2}=\dfrac{u_1}{v_1} \)

    por tanto \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son linealmente dependientes ya que sus componentes son proporcionales.
     
...

Basta con esto

  \( \dfrac{u_3}{v_3}=\dfrac{u_2}{v_2}=\dfrac{u_1}{v_1}\bf=k \)     por lo que    \[ {\color{blue}\bf\vec{u}}=\begin{pmatrix}{u_1}\\{u_2}\\{u_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{k\cdot v_1}\\{k\cdot v_2}\\{k\cdot v_3}\end{pmatrix}={\bf k}\begin{pmatrix}{v_1}\\{v_2}\\{v_3}\end{pmatrix}={\color{blue}\bf k\cdot \vec{v}} \]

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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28 Agosto, 2020, 03:55 am
Respuesta #2

Steven_Math

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Hola ingmarov
Hola

...
  • Si \( v_k\neq 0  \) para cada \( k=1,2,3 \), entonces por la hipótesis pasando a dividir los \( v_k   \) obtendríamos que 

                                                 \( \dfrac{u_3}{v_3}=\dfrac{u_2}{v_2}=\dfrac{u_1}{v_1} \)

    por tanto \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son linealmente dependientes ya que sus componentes son proporcionales.
     
...

Basta con esto

  \( \dfrac{u_3}{v_3}=\dfrac{u_2}{v_2}=\dfrac{u_1}{v_1}\bf=k \)     por lo que    \[ {\color{blue}\bf\vec{u}}=\begin{pmatrix}{u_1}\\{u_2}\\{u_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{k\cdot v_1}\\{k\cdot v_2}\\{k\cdot v_3}\end{pmatrix}={\bf k}\begin{pmatrix}{v_1}\\{v_2}\\{v_3}\end{pmatrix}={\color{blue}\bf k\cdot \vec{v}} \]

Saludos
Eso ya lo tenía  claro, mi pregunta  es: cómo  llegar a la dependencia  lineal en los dos últimos casos que planteé; es decir, llegar a dependencia lineal en el caso  cuando  uno de los componentes  del vector  \( \vec{v} \) es cero y los otros dos distinos de cero y en el caso cuando dos de los componentes  de vector \( \vec{v} \) son iguales  a cero y el otro componente  distinto de cero.
Saludos.

28 Agosto, 2020, 04:07 am
Respuesta #3

ingmarov

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Es que no creo que los casos sean necesarios, es suficiente con lo que pones en tu segundo caso.


Añado

O puedes estudiar los casos cuando ya tienes expresada la relación de los vectores en esta forma

\[
{\color{blue}\bf\vec{u}}=\begin{pmatrix}{u_1}\\{u_2}\\{u_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{k\cdot v_1}\\{k\cdot v_2}\\{k\cdot v_3}\end{pmatrix}={\bf k}\begin{pmatrix}{v_1}\\{v_2}\\{v_3}\end{pmatrix}={\color{blue}\bf k\cdot \vec{v}} \]
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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28 Agosto, 2020, 04:35 am
Respuesta #4

ingmarov

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\[ u_2v_3=v_2u_3,\; \; \ u_1v_3=v_1u_3 \; \;\ \text{y}\; \; \ u_1v_2=v_1u_2 \]

Veamos un caso donde \[ v_1=0,\quad v_2,v_3\neq 0 \]

entonces las ecuaciones originales resultan,   \[ u_2v_3=v_2u_3, \; \;\ u_1v_3=0 \; \;\text{y}\; \; \ u_1v_2=0 \]
de las dos últimas ecuaciones vemos que \[ u_1=0 \]       solo nos queda la primera ecuación que cumple \[ \dfrac{u_2}{v_2}=\dfrac{u_3}{v_3}=k \]


Bueno, si quieres puedes seguir de esta forma
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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02 Septiembre, 2020, 05:37 pm
Respuesta #5

Steven_Math

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Hola Ingmarov
\[ u_2v_3=v_2u_3,\; \; \ u_1v_3=v_1u_3 \; \;\ \text{y}\; \; \ u_1v_2=v_1u_2 \]

Veamos un caso donde \[ v_1=0,\quad v_2,v_3\neq 0 \]

entonces las ecuaciones originales resultan,   \[ u_2v_3=v_2u_3, \; \;\ u_1v_3=0 \; \;\text{y}\; \; \ u_1v_2=0 \]
de las dos últimas ecuaciones vemos que \[ u_1=0 \]       solo nos queda la primera ecuación que cumple \[ \dfrac{u_2}{v_2}=\dfrac{u_3}{v_3}=k \]


Bueno, si quieres puedes seguir de esta forma
Este caso ya lo entendì, ya que podrìa expresar los vectores de la siguiente manera

\( \vec{u}=\begin{pmatrix}  0 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  k(0) \\ k(v_2) \\ k(v_3) \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}  0 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=k\vec{v}  \).

Ahora en el caso cuando \( v_1=v_2=0 \) y \( v_3\neq 0 \)
Entonces de las ecuaciones originales  \[ u_2v_3=0, \; \;\ u_1v_3=0   \]
obtenemos que  \( u_1=u_2=0  \)

Asì, \( \vec{u}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ u_3 \end{pmatrix} \)  y \( \vec{v}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix} \)

pero no sè como llegar a que \( u_3=kv_3 \), para llegar a la dependencia lineal de los vectores \( \vec{u} \ \text{y} \ \vec{v}  \).

03 Septiembre, 2020, 12:38 am
Respuesta #6

robinlambada

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Hola.

Ahora en el caso cuando \( v_1=v_2=0 \) y \( v_3\neq 0 \)
Entonces de las ecuaciones originales  \[ u_2v_3=0, \; \;\ u_1v_3=0   \]
obtenemos que  \( u_1=u_2=0  \)

Asì, \( \vec{u}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ u_3 \end{pmatrix} \)  y \( \vec{v}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix} \)

pero no sè como llegar a que \( u_3=kv_3 \), para llegar a la dependencia lineal de los vectores \( \vec{u} \ \text{y} \ \vec{v}  \).

Pero esto ya es lo más fácil de todo. solo debes dividir y lo tienes: $$\frac{u_3}{v_3}=k$$ , ya que $$v_3\neq0$$

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

03 Septiembre, 2020, 03:11 am
Respuesta #7

Steven_Math

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Hola,
Hola.

Ahora en el caso cuando \( v_1=v_2=0 \) y \( v_3\neq 0 \)
Entonces de las ecuaciones originales  \[ u_2v_3=0, \; \;\ u_1v_3=0   \]
obtenemos que  \( u_1=u_2=0  \)

Asì, \( \vec{u}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ u_3 \end{pmatrix} \)  y \( \vec{v}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix} \)

pero no sè como llegar a que \( u_3=kv_3 \), para llegar a la dependencia lineal de los vectores \( \vec{u} \ \text{y} \ \vec{v}  \).

Pero esto ya es lo más fácil de todo. solo debes dividir y lo tienes: $$\frac{u_3}{v_3}=k$$ , ya que $$v_3\neq0$$

Saludos.
¿De cual ecuaciòn obtienes lo último? 
porque a eso es lo que he querido llegar, pero no he podido.
Saludos.

03 Septiembre, 2020, 12:30 pm
Respuesta #8

robinlambada

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Hola,
Hola.

Ahora en el caso cuando \( v_1=v_2=0 \) y \( v_3\neq 0 \)
Entonces de las ecuaciones originales  \[ u_2v_3=0, \; \;\ u_1v_3=0   \]
obtenemos que  \( u_1=u_2=0  \)

Asì, \( \vec{u}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ u_3 \end{pmatrix} \)  y \( \vec{v}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix} \)

pero no sè como llegar a que \( u_3=kv_3 \), para llegar a la dependencia lineal de los vectores \( \vec{u} \ \text{y} \ \vec{v}  \).

Pero esto ya es lo más fácil de todo. solo debes dividir y lo tienes: $$\frac{u_3}{v_3}=k$$ , ya que $$v_3\neq0$$

Saludos.
¿De cual ecuaciòn obtienes lo último? 
porque a eso es lo que he querido llegar, pero no he podido.
Saludos.
De ninguna ecuación, dados 2 números tales que uno es distinto de cero, entonces siempre puedes dividir entre el que es distinto de cero para obtener K, dicho de otra manera dos números con estas condiciones siempre son proporcionales porque siempre puedes hallar k.

Si estoy equivocado, ¿podrías darme 2 números, con estas condiciones, tales  en los que no exista k ?
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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03 Septiembre, 2020, 06:59 pm
Respuesta #9

Steven_Math

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Hola,
Hola.

Ahora en el caso cuando \( v_1=v_2=0 \) y \( v_3\neq 0 \)
Entonces de las ecuaciones originales  \[ u_2v_3=0, \; \;\ u_1v_3=0   \]
obtenemos que  \( u_1=u_2=0  \)

Asì, \( \vec{u}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ u_3 \end{pmatrix} \)  y \( \vec{v}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix} \)

pero no sè como llegar a que \( u_3=kv_3 \), para llegar a la dependencia lineal de los vectores \( \vec{u} \ \text{y} \ \vec{v}  \).

Pero esto ya es lo más fácil de todo. solo debes dividir y lo tienes: $$\frac{u_3}{v_3}=k$$ , ya que $$v_3\neq0$$

Saludos.
¿De cual ecuaciòn obtienes lo último? 
porque a eso es lo que he querido llegar, pero no he podido.
Saludos.
De ninguna ecuación, dados 2 números tales que uno es distinto de cero, entonces siempre puedes dividir entre el que es distinto de cero para obtener K, dicho de otra manera dos números con estas condiciones siempre son proporcionales porque siempre puedes hallar k.

Si estoy equivocado, ¿podrías darme 2 números, con estas condiciones, tales  en los que no exista k ?
Entiendo  Robinlambada, muchas gracias por tu ayuda.
Saludos.