[girsanov]

Buenas, estoy leyendo un texto acerca de Cálculo de variaciones y hay una cosa que no termino de entender, que no sé si se da por hecha o qué está pasando.

A la hora de demostrar la ecuación de Euler-Lagrange, antes hay que estudiar el espacio en el que estamos. Pues bien, es cierto que el espacio de funciones continuas en un intervalo \( [a,b] \subset \mathbb{R} \) con \( a<b \) es completo con la norma del supremo

\( \lVert f \rVert_{\infty} = \sup \left\{ f(t) :t \in [a,b]  \right\} \)

Se menciona que la solución del problema variacional se buscará en un cierto espacio de ''funciones admisibles''

\( \Omega = \{ x: [a, b] / x  \) tiene derivadas primera y segunda continuas en \( [a,b] \} \)

De hecho, la ecuación de Euler-Lagrange es una condición necesaria de mínimo, que se obtiene utilizando las técnicas de cálculo diferencial en espacios de Banach. Ahora bien, ¿es este espacio \( \Omega \) un espacio de Banach?

Esa es mi duda, por qué no hace falta comprobar que es un subespacio cerrado (y, por tanto, completo y de Banach con esta norma), ¿es trivial? ¿Es innecesario para resolver el problema? Es que no sé qué me estoy perdiendo.

Un saludo y muchas gracias.

[Masacroso]

Buenas, estoy leyendo un texto acerca de Cálculo de variaciones y hay una cosa que no termino de entender, que no sé si se da por hecha o qué está pasando.

A la hora de demostrar la ecuación de Euler-Lagrange, antes hay que estudiar el espacio en el que estamos. Pues bien, es cierto que el espacio de funciones continuas en un intervalo \( [a,b] \subset \mathbb{R} \) con \( a<b \) es completo con la norma del supremo

\( \lVert f \rVert_{\infty} = \sup \left\{ f(t) :t \in [a,b]  \right\} \)

Se menciona que la solución del problema variacional se buscará en un cierto espacio de ''funciones admisibles''

\( \Omega = \{ x: [a, b] / x  \) tiene derivadas primera y segunda continuas en \( [a,b] \} \)

De hecho, la ecuación de Euler-Lagrange es una condición necesaria de mínimo, que se obtiene utilizando las técnicas de cálculo diferencial en espacios de Banach. Ahora bien, ¿es este espacio \( \Omega \) un espacio de Banach?

Esa es mi duda, por qué no hace falta comprobar que es un subespacio cerrado (y, por tanto, completo y de Banach con esta norma), ¿es trivial? ¿Es innecesario para resolver el problema? Es que no sé qué me estoy perdiendo.

Un saludo y muchas gracias.

Depende de la norma. Si la norma es la del supremo entonces no, no es completo. En general para espacios de derivadas continuas la norma que se utiliza es la del máximo de los supremos de las derivadas, o la de la suma de los supremos, es decir si \( f\in C^n([a,b]) \) entonces podemos definir

\( \displaystyle{
\|f\|:=\max_{0\leqslant k\leqslant n}\|f^{(k)}\|_\infty , \text{ o también } \|f\|:=\sum_{k=0}^n\|f^{(k)}\|_\infty
} \)

tras lo cual el espacio sí sería completo. Los detalles de lo que acabo de exponer puedes consultarlos, por ejemplo, en Analysis I de Herbert Amann y Joachim Escher (esencialmente el teorema 2.8 del capítulo cinco que dice que si \( (f_n)\to f \) puntualmente y \( (f'_n)\to g \) localmente uniforme entonces \( f'=g \) y \( (f_n)\to f \) localmente uniforme, aunque imagino se puede demostrar directamente sin utilizar este resultado), pero seguro figura en cualquier libro de análisis que trate la convergencia de espacios de funciones diferenciables.