Autor Tema: Estudia convergencia de \(\displaystyle\int_{0}^{1}\log(x)\cdot{\log(1-x)}dx\)

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28 Agosto, 2020, 08:07 pm
Respuesta #20

robinlambada

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Hola.
Pero yo no uso técnicas de calculo de primitivas yo lo que hago es probar que es integrable sin intentar sacar la primitiva.

¿Y como se prueba que la     \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx} \)    converge?

Te explico  lo que te ha mostrado Juan Pablo.

El único punto donde   \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx} \)    puede dar problemas de convergencia es en $$x=0$$

Ya que en $$(0,\frac12]$$  $$f(x)=\log(x)\cdot{}\log(1-x)$$ está acotada.

Por tanto basta demostrar que el limite en cero de f(x) es finito, en concreto  es también cero.

 $$ \lim_{x \to 0}{}f(x)=\lim_{x \to 0}{}\log(x)\cdot{}\log(1-x)=0$$

Para ello Juan Pablo separa el limite del producto de las 2 funciones como el el producto de dos límites  , en el cual uno converge a 1 y el otro a 0.

Uso que si \(  a < c < b  \) entonces \( \displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = \int_a^c f(x) \ dx + \int_c^b f(x) \ dx  \)
Si no es eso lo que preguntas y lo que quieres saber es el porqué de la división, es que intento usar que:
\( \displaystyle \lim_{u \to 0} \dfrac{\log(1+u)}{u} = 1  \) y \( \displaystyle \lim_{t \to 0} t \cdot \log(t) = 0  \)
Y esto no es más que lo te indico anteriormente pero más claro, concretamente aquí.


\( \displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 \dfrac{\log(1+(x-1))}{x-1} \cdot (-(1-x) \cdot \log(1-x)) \ dx  \)

Saludos.
P.D.: Estaba terminando este mensaje cuando Juan Pablo te lo ha indicado.
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28 Agosto, 2020, 09:02 pm
Respuesta #21

Buscón

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Hola.
Pero yo no uso técnicas de calculo de primitivas yo lo que hago es probar que es integrable sin intentar sacar la primitiva.

¿Y como se prueba que la     \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx} \)    converge?

Te explico  lo que te ha mostrado Juan Pablo.

El único punto donde   \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx} \)    puede dar problemas de convergencia es en $$x=0$$

Ya que en $$(0,\frac12]$$  $$f(x)=\log(x)\cdot{}\log(1-x)$$ está acotada.


En    \( x=0 \)    no hay problema, basta tener en cuenta que el logaritmo es negativo si    \( 0<x\leq{1} \)    para deducir que     \( \log(x)\cdot{\log(1-x)\geq{0}} \)    para    \( x\in{(0,1]} \).    Se puede obviar el valor del integrando en    \( x=0 \)    considerándola como un número finito de discontinuidades.

El problema está en    \( x=1 \)    y lo resuelve Juan Pablo probando que    \( \displaystyle \int_{0}^{1}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx}=\displaystyle 2\cdot{} \int_{0}^{\frac{1}{2}}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx} \),    (todavía no acabo de entender porqué elige    \( \frac{1}{2} \)),    sólo falta encontrar una cota del integrando fácilmente integrable para que quede más claro.

Aprovecho para hacerte un par de preguntas.

¿Son condiciones suficientes para afirmar que la integral de una función no negativa converge?:

   i)    El intervalo de integración está acotado superiormente.

   ii)   El integrando está acotado superiormente en el intervalo de integración. 

¿Son condiciones necesarias?

Saludos y gracias.


29 Agosto, 2020, 12:12 am
Respuesta #22

robinlambada

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En    \( x=0 \)    no hay problema, basta tener en cuenta que el logaritmo es negativo si    \( 0<x\leq{1} \)    para deducir que     \( \log(x)\cdot{\log(1-x)\geq{0}} \)    para    \( x\in{(0,1]} \).    Se puede obviar el valor del integrando en    \( x=0 \)    considerándola como un número finito de discontinuidades.
Si, en principio en x=0 puede haber un problema , tan fácil como ver que $$\lim_{x \to 0}{}\log(x)=-\infty$$
Pero no confundas que en la integral de Riemman puedas "quitar" un número finito de puntos del intervalo si su valor es finito, es decir que puedes quitar puntos donde la discontinuidad es evitable, pero es que no es el caso de x=0 ,que no es una discontinuidad evitable de $$\log(x)$$
Precisamente lo que hay que demostrar es que $$\lim_{x \to 0}{}\log(x)\cdot\log(1-x)=k$$ con k finito, para ver que en el integrando en las posibles divergencias, no son tales y como mucho hay discontinuidad evitable, y eso es lo que intenta mostrarte Juan Pablo calculando el límite.

Citar
El problema está en    \( x=1 \)    y lo resuelve Juan Pablo probando que    \( \displaystyle \int_{0}^{1}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx}=\displaystyle 2\cdot{} \int_{0}^{\frac{1}{2}}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx} \),    (todavía no acabo de entender porqué elige    \( \frac{1}{2} \)), 
Que haya partido el integrando en x=1/2 no es lo más relevante.(elige x=1/2 por la simetría de la función respecto a esta recta, así elimina la indeterminación del x=1 y solo debe estudiar x=0)
Lo relevante es que:
 $$\lim_{x \to 0}{}f(x)=\log(x)\cdot\log(1-x)=0$$  y por simetría  $$\lim_{x \to 1}{}f(x)=\log(x)\cdot\log(1-x)=0$$
Hasta que no veas este límite claro no vas a entender nada, los problemas están en principio en cero y en uno, pues la función podría diverger.

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     sólo falta encontrar una cota del integrando fácilmente integrable para que quede más claro.
No es  necesario , pero aprovechando que la función es no negativa y la simetría respecto a x=1/2, ya que $$ f(t+1/2)=f(t-1/2)$$ , se ve que el máximo esta en x=1/2
Citar

Aprovecho para hacerte un par de preguntas.

¿Son condiciones suficientes para afirmar que la integral de una función no negativa converge?:

   i)    El intervalo de integración está acotado superiormente.

   ii)   El integrando está acotado superiormente en el intervalo de integración. 

¿Son condiciones necesarias?

Saludos y gracias.

No ,no  son condiciones suficientes, ya que el intervalo de integración debe estar acotado inferiormente, es decir ,debe ser un intervalo finito.
Entonces un intervalo de integración finito y una función acotada son condiciones suficientes de convergencia pero no necesarias.
De hecho  hay integrales impropias de primera especie que convergen e integrales impropias de segunda especie que también lo hacen.
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29 Agosto, 2020, 12:52 am
Respuesta #23

Buscón

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