Autor Tema: Estudia convergencia de \(\displaystyle\int_{0}^{1}\log(x)\cdot{\log(1-x)}dx\)

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27 Agosto, 2020, 01:56 pm
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Buscón

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Estudia la convergencia de la integral impropia

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx} \)


27 Agosto, 2020, 02:01 pm
Respuesta #1

Buscón

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Aquí no veo como calcular 

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\big(\log(x)\cdot{\log(1-x)}\big)} \)    y    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{\big(\log(x)\cdot{\log(1-x)}\big)} \)

y tampoco encuentro cotas para la integral.

Vamos avanzando.  :laugh: :laugh: :laugh:

27 Agosto, 2020, 03:35 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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\( \displaystyle \int_0^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx  = \int_0^{\frac{1}{2}} \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx + \int_{\frac{1}{2}}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx  \) hacemos:
\( \displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_0^{\frac{1}{2}} (\log(x) \cdot (-x)) \cdot \dfrac{\log(1-x)}{-x} \ dx  \)

\( \displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 \dfrac{\log(1+(x-1))}{x-1} \cdot (-(1-x) \cdot \log(1-x)) \ dx  \)

27 Agosto, 2020, 04:20 pm
Respuesta #3

Buscón

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Echando mano de todo el conocimiento que poseo.

Las hipótesis sobre la función     \( h:\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por    \( h(x)=\log(x) \):

   i)    \( h(x)\leq{0} \)    para todo    \( x\in{\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]} \).

   ii)   No está acotada inferiormente.

   iii)  Es estrictamente creciente en    \( \color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1] \).

   iv)  Es continua en todo    \( x\in{\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]} \).

   v)  Es derivable en todo punto    \( x\in{}\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1] \).

   vi) Es integrable en todo punto    \( x\in{\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]} \).

Como    \( 0\leq{x\leq{1}}\Rightarrow{-1\leq{-x\leq{0}}}\Rightarrow{0\leq{1-x\leq{1}}} \),     las hipótesis para la función    \( g:\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por     \( g(x)=\log(1-x) \)    son las mismas que para la función    \( h \).

La función    \( f:\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por    \( f(x)=h(x)\cdot{g(x)}=\log(x)\cdot{\log(1-x)} \)    verifica:

   a)    Está acotada superiormente.

           De no estarlo supone que para todo    \( M>0 \)    existe    \( x_0\in{\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]} \)    tal que     \( \log(x_0)\cdot{\log(1-x_0)}>-M \)    lo que implica que    \( \log(x_0)\color{red}\cancel{\color{black}{>}}\color{red}<\color{black}\dfrac{-M}{\log(1-x_0)}>0 \)    que contradice la hipótesis i).     

   b)    \( f(x)\geq{0} \)    para todo    \( x\in{\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]} \)    por ser producto de dos funciones negativas en    \( \color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1] \).

   c)    Es continua en todo    \( x\in{\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]} \)    por ser producto de funciones continuas.

   d)    Es derivable en todo punto    \( x\in{}\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1] \)    por ser producto de funciones derivables.

   e)     Es integrable en todo punto    \( x\in{\color{red}\cancel{\color{black}[}\color{red}(\color{black}0,1]} \)    por estar acotada en un cerrado.

De b) se deduce que    \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\cdot{dx} \)    es creciente y por estar la integral acotada superiormente, converge

¿Habrá sonado la flauta por casualidad?

Saludos.

CORREGIDO.

27 Agosto, 2020, 11:15 pm
Respuesta #4

robinlambada

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Hola:
Echando mano de todo el conocimiento que poseo.

Las hipótesis sobre la función     \( h:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por    \( h(x)=\log(x) \):

   i)    \( h(x)\leq{0} \)    para todo    \( x\in{[0,1]} \).

   ii)   No está acotada inferiormente.

   iii)  Es estrictamente creciente en    \( [0,1] \).

   iv)  Es continua en todo    \( x\in{[0,1]} \).

   v)  Es derivable en todo punto    \( x\in{}[0,1] \).

   vi) Es integrable en todo punto    \( x\in{[0,1]} \).

Como    \( 0\leq{x\leq{1}}\Rightarrow{-1\leq{-x\leq{0}}}\Rightarrow{0\leq{1-x\leq{1}}} \),     las hipótesis para la función    \( g:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por     \( g(x)=\log(1-x) \)    son las mismas que para la función    \( h \).

La función    \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por    \( f(x)=h(x)\cdot{g(x)}=\log(x)\cdot{\log(1-x)} \)    verifica:

   a)    Está acotada superiormente.

           De no estarlo supone que para todo    \( M>0 \)    existe    \( x_0\in{[0,1]} \)    tal que     \( \log(x_0)\cdot{\log(1-x_0)}>-M \)    lo que implica que    \( \log(x_0)>\dfrac{-M}{\log(1-x_0)}>0 \)    que contradice la hipótesis i).     

   b)    \( f(x)\geq{0} \)    para todo    \( x\in{[0,1]} \)    por ser producto de dos funciones negativas en    \( [0,1] \).

   c)    Es continua en todo    \( x\in{[0,1]} \)    por ser producto de funciones continuas.

   d)    Es derivable en todo punto    \( x\in{}[0,1] \)    por ser producto de funciones derivables.

   e)     Es integrable en todo punto    \( x\in{[0,1]} \)    por estar acotada en un cerrado.

De b) se deduce que    \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\cdot{dx} \)    es creciente y por estar la integral acotada superiormente, converge

¿Habrá sonado la flauta por casualidad?

Saludos.
Varias cosas, la primera , las funciones logaritmo no están definidas para el logaritmo de cero, por ello ,  $$Dom[h(x)]=(0,1] $$  y  $$Dom[g(x)]=[0,1) $$

Citar
           De no estarlo supone que para todo    \( M>0 \)    existe    \( x_0\in{[0,1]} \)    tal que     \( \log(x_0)\cdot{\log(1-x_0)}>-M \)    lo que implica que    \( \log(x_0)\color{red}>\color{black}\dfrac{-M}{\log(1-x_0)}>0 \)    que contradice la hipótesis i).     

Tienes un error (descuido) en la desigualdad, lo marcado en rojo está mal, se te olvidó que en una desigualdad al dividir ambos miembros por un número negativo la desigualdad cambia de sentido, sería:
 \( \log(x_0)<\dfrac{-M}{\log(1-x_0)}>0 \)  Que no contradice nada.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

28 Agosto, 2020, 01:36 pm
Respuesta #5

Buscón

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Echando un vistazo en geogebra a las gráficas de la función coseno y de la función    \( \log(x)\cdot{\log(1-x)} \)     Se observa que:

\( 0<x\leq{1}\Rightarrow{}\log(x)\cdot{\log(1-x)}<{\cos(x)} \)

de donde

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx}\leq{\int_{0}^{1}}\cos(x)\cdot{dx}=\sen(1) \)

y por lo tanto la integral converge.

Estoy usando el criterio:  "geogebra, compárame estas funciones"  ¿Es lícito? ¿Me dejarán usar geogebra en un examen?

Saludos.


28 Agosto, 2020, 03:15 pm
Respuesta #6

Buscón

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\( \displaystyle \int_0^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx  = \int_0^{\frac{1}{2}} \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx + \int_{\frac{1}{2}}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx  \) hacemos:
\( \displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_0^{\frac{1}{2}} (\log(x) \cdot (-x)) \cdot \dfrac{\log(1-x)}{-x} \ dx  \)

\( \displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 \dfrac{\log(1+(x-1))}{x-1} \cdot (-(1-x) \cdot \log(1-x)) \ dx  \)

¿Que usas para dividir el intervalo en dos?

28 Agosto, 2020, 04:49 pm
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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Uso que si \(  a < c < b  \) entonces \( \displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = \int_a^c f(x) \ dx + \int_c^b f(x) \ dx  \)
Si no es eso lo que preguntas y lo que quieres saber es el porqué de la división, es que intento usar que:
\( \displaystyle \lim_{u \to 0} \dfrac{\log(1+u)}{u} = 1  \) y \( \displaystyle \lim_{t \to 0} t \cdot \log(t) = 0  \)

28 Agosto, 2020, 05:10 pm
Respuesta #8

Buscón

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Uso que si \(  a < c < b  \) entonces \( \displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = \int_a^c f(x) \ dx + \int_c^b f(x) \ dx  \)
Si no es eso lo que preguntas y lo que quieres saber es el porqué de la división, es que intento usar que:
\( \displaystyle \lim_{u \to 0} \dfrac{\log(1+u)}{u} = 1  \) y \( \displaystyle \lim_{t \to 0} t \cdot \log(t) = 0  \)



¿No es indeterminado el segundo límite?

28 Agosto, 2020, 05:13 pm
Respuesta #9

Juan Pablo Sancho

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\( \displaystyle \lim_{t \to 0} t \cdot \log(t) = \lim_{t \to 0} \dfrac{\log(t)}{1/t}  \) y L'Hopital.

28 Agosto, 2020, 05:19 pm
Respuesta #10

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\( \displaystyle \lim_{t \to 0} t \cdot \log(t) = \lim_{t \to 0} \dfrac{\log(t)}{1/t}  \) y L'Hopital.

Gracias. Pero sigo sin entender como deducir que    \( \frac{1}{2} \)    es un máximo de    \( \log(x)\cdot{\log(1-x)} \).    He intentado encontrar ese máximo analizando la derivada pero no he sido capaz de resolver la ecuación.

Se que    \( \frac{1}{2} \)    es un máximo porque hice trampas. Grafiqué la función con Geogebra.

Una vez probando esto es fácil hacer

\( \displaystyle 0\leq{\log(x)\cdot{\log(1-x)}}\leq{\frac{1}{2}}\Rightarrow{}\int_{0}^{1}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx}\leq{}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\cdot{dx}=\frac{1}{2} \)

y determinar que converge.


28 Agosto, 2020, 05:36 pm
Respuesta #11

Juan Pablo Sancho

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Pero yo no he buscado el máximo  de \( \log(x) \cdot \log(1-x)  \) no tiene nada que ver con el argumento que te puse, use \( \dfrac{1}{2}  \) por ser la mitad de intervalo podría haber usado :
\( \displaystyle \int_0^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_0^{3/4} \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx + \int_{3/4}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx  \)

28 Agosto, 2020, 05:45 pm
Respuesta #12

Buscón

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Pero yo no he buscado el máximo  de \( \log(x) \cdot \log(1-x)  \) no tiene nada que ver con el argumento que te puse, use \( \dfrac{1}{2}  \) por ser la mitad de intervalo podría haber usado :
\( \displaystyle \int_0^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_0^{3/4} \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx + \int_{3/4}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx  \)

Sigo sin ver como justificar tal procedimiento.

28 Agosto, 2020, 05:49 pm
Respuesta #13

Juan Pablo Sancho

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28 Agosto, 2020, 06:02 pm
Respuesta #14

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¿Qué cosa en particular?

¿Porqué usar "si     \( 0<c<1 \)    entonces    \( \displaystyle \int_0^1 f(x) \ dx = \int_0^{c} f(x) \ dx + \int_{c}^1 f(x) \ dx \)"?

28 Agosto, 2020, 06:19 pm
Respuesta #15

Juan Pablo Sancho

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La función da problemas en el cero y en el uno divido la integral en dos partes para analizar su comportamiento en esos puntos.
Editado
Además como \( \displaystyle \int_{1/2}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx   \) cambio \(  u = 1-x  \) queda:
 \( \displaystyle \int_{1/2}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_0^{1/2} \log(u) \cdot \log(1-u) \ du    \).
Sólo hay que analizar el problema en el cero.
\( \displaystyle \int_0^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = 2 \cdot  \int_0^{1/2} \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx  \)

28 Agosto, 2020, 06:53 pm
Respuesta #16

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La función da problemas en el cero y en el uno divido la integral en dos partes para analizar su comportamiento en esos puntos.
Editado
Además como \( \displaystyle \int_{1/2}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx   \) cambio \(  u = 1-x  \) queda:
 \( \displaystyle \int_{1/2}^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_0^{1/2} \log(u) \cdot \log(1-u) \ du    \).
Sólo hay que analizar el problema en el cero.
\( \displaystyle \int_0^1 \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = 2 \cdot  \int_0^{1/2} \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx  \)

Ok. Disculpa, se me olvidó poner que las reglas del juego no permiten usar técnicas de cálculo de primitivas. Creo que eso dirige el esfuerzo a encontrar cotas para     \( \log(x) \cdot \log(1-x)  \).    La inferior está chupada por que la función es no negativa. Falta la superior.    Gracias.   

28 Agosto, 2020, 07:10 pm
Respuesta #17

Juan Pablo Sancho

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Pero yo no uso técnicas de calculo de primitivas yo lo que hago es probar que es integrable sin intentar sacar la primitiva.

28 Agosto, 2020, 07:25 pm
Respuesta #18

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Pero yo no uso técnicas de calculo de primitivas yo lo que hago es probar que es integrable sin intentar sacar la primitiva.

¿Y como se prueba que la     \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\log(x)\cdot{\log(1-x)}\cdot{dx} \)    converge?

28 Agosto, 2020, 07:57 pm
Respuesta #19

Juan Pablo Sancho

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\( \displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \log(x) \cdot \log(1-x) \ dx = \int_0^{\frac{1}{2}} (\log(x) \cdot (-x)) \cdot \dfrac{\log(1-x)}{-x} \ dx  \)